SÉANCE DU 25 MAI 1914. 1/189 



Soit k un nombre positif et s'^ ]f(^- 9 '! ^^ moyenne «•'■'"« de Cesàro 

 d'ordre /• de la série (i), de sorte que 



{■>■) 



ou 



•^.''o ..'0 



■</•'(•/) = xjp 2 ^^"->-(^'' + 1) P;.(cosy), 

 À — 



,,. .a;_ (A-f-i)(/.- + 2)...(/.-+/0 



(i) A„ _ — -, 



J'ai fait voir récemment ( ' ) que les moyennes (i) convergent, pourA- = i, 

 vers la fonction /(6, o) en tout point où celle-ci est continue, et M. Lukàcs 

 vient de simplifier ma démonstration en un point important (-). A la fin de 

 la Note citée, VI. Lukàcs énonce le théorème suivant : La série ( i) est soni- 



mahh d'ordre ^\> - (n'po la somme /'(/) , o ) en /or/f poin/ où cette dernière fonc- 

 tion est continue. 



Or, ce théorème n'est pas enlièremenl exact; Il faut le remplacer par le 

 suivant, que j'avais d'ailleurs énoncé antérieurement à M. Lukàcs (voir Bul- 

 letin of the American mnlhematical Society , mars ipi3, p. 299) : 



/^(O, o) étant absolument intégrahle, la série (i) est sommable d^ ordre /' > - 

 au point 0, o avec la somme /((), o), sous les conditions suivantes : 



i" f est continue au point 6, 0; ' 



2" La partie de l'intégrale (3) étendue sur un entourage suffisamment petit 

 du point 7: — 0, 9 -I- - (antipode de 0, o) tend vers zéro pour n infini: cette 

 condition est remplie, en particulier, lorsque f est bornée au voisinage 

 de t: — 0, ç. + -. 



J'ai démontré par des exemples la nécessité de cette condition (2) qui 

 est omise dans l'énoncé de M. Lukàcs. 



Pour o'Sk'^ -, il existe dos fonclions/( 0, o ) continues sur toute la sphère 



et pour lesquelles les sommes (2) divergent en un point donné. 



Lorsqu*ey(0, 9) est indépendant de o et en posantir = cosO, /'(0,2)) = /'(,r), 



( ') Veber die La/jlacesche Reihe{ Mathemalixclie Annaten, t. LXXIV^ ipi.S, p. oi3- 

 270). 



('-) Sur la série de Laplcice {Comptes rendus. I". 157. 20 oclobie içjiS, p.G32-63/l). 



C. R., iyi4, 1" Semestre. (T. 15S, N» 21.) 193 



