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où l'on pose 



J,(.r)=-^r 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



''<-"= ï^X 



,1 

 / t='K{t)dt 



L ^ 



^/a. 



r/a. 



I— f /^K{t)r/t 

 De l'équation (2) on déduit 



en écrivant 



.1 /^i 



W,.(.r)= f ... f K(t,) . . .K{l,.)W(l,t, . . . f,..r)(ft, . . . cit.. 



Il est clair qu'on a 



( r^K{t)dt\ — .../ (/,/,.../,.)* K(/,)...K(<,)r/^ ...^/,. 



^0 J "-0 «0 



En insérant cette identité dans l'expression pour Jr(^), et en intégrant 

 d'abord par rapport à a, comme dans le cas de 



■'"^■'"^=rbf ''■"/ /''"^*^''(.')''>' 



(ix = W(x). 



on démontre que l'on a Jr(^) = W,.(œ). 



La fonction K(/) peut avoir des infinis; en supposant que le plus fort 



soit de l'ordre p-— — p; (o < v <^ i, o <;c<i), et en prenant 27» >■ — — ^ , on 



peut démontrer que l'intégrale 



0: 



l'D •'Il 



( dt 



\dor.\ 



est convergente. Delà, on établit successivement la convergence des inté- 

 grales l^mi-x!), I(^), et la formule lj,(x) = ^^{.v). 



Inversement, on peut démontrer que la formule (3) donne toutes les 

 solutions de l'équation (2), si l'on y ajoute une expression de la forme 



H(.«) = 



•irJ Ji. 





(la.. 



{ t ) dl 



