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ACADÉMIE DES SCIENCE3. 



Les relations (i) sont nécessaires et suffisantes pour que les fonctions 

 abéliennes considérées admettent d'autres transformations que celles étu- 

 diées par Hermite. Ces transforniationsétant définies par 36 coefficients «,j 

 (i ety variant de i à 6), il existe entre les périodes des relations singulières 

 dont les coefficients ont les valeurs 



A/,y = 



«;,l«y,V— «/.l'ïyM + «/,2«y.5 «(.5«i,2+ «(■..■lay.c— Ci.6"j,-i- 



(Ces formules définissent 36 coefficients formant un tableau symétrique 

 gauche, défini complètement par la valeur de i5 coefficients.) Les rela- 

 tions (i) sont aussi nécessaires pour qu'il existe àe?, fonctions intermédiaires 

 singulières autres que les fonctions admettant les périodes données. Ce 

 sont donc ces relations qui généralisent la relation singulière déjà étudiée 

 dans le cas des fonctions de deux variables (' ). Nous allons énoncer quelques 

 résultats relatifs à ces systèmes. 



2. Si les périodes considérées vérifient le système (i), elles vérifient un 

 autre système de même forme 



(2) E, = o, e; : 



dont les coefficients ont les valeurs 



o, 



— o, 



«] = >./-'• — (3( ), 



y, = V"-(a"), 



x; = ).> -(P ), 

 3', = À',a'-((3'), 

 y, = /.';.."_ ((3"). 



/; = /."p."-(/). 



X, =Xa H-/.' (3 +'K"y, 



}/; = >,a"4-X'(3"4-A"y", 



fx, = (jtsc + jji'a' 





fA'a , 



//(3 + |jL'(3'-Hfx"(3", 

 ixy +[x'y' +p."y". 



Dans ces formules, (a), (a'), 

 minant 



., (y") représentent les mineurs du déter- 



oc p y 



a' (3' y' 

 «" p" y" 



correspondant respectivement aux éléments a, a', ..., y"- 



Le système (2) est, en général, distinct du système (i). S'il n'en était 

 pas ainsi, nous dirions que le système (i) est exceptionnel. Dans le cas 



(') G. HiMBERT, Sur (es fonctions aliéliennes singulières (J. de Malli.^ 1899 à 

 1901). 



