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deux systèmes exceptionnels, il existe, en général, un troisième système et 

 et un seul qui soit associable à chacun d'eux. 



5. Nous pouvons maintenant classer les divers systèmes de périodes. 

 Celte discussion se fait très simplement par une méthode géométrique que 

 nous ne pouvons pas exposer dans les limites de cette Note. 



Il peut d'abord exister entre des périodes un seul système de relations 

 singulières; il est alors nécessairement exceptionnel. C'est le cas le moins 

 singulier, les périodes vérifiant seulement deux relations et pouvant donc 

 dépendre de 4 paramètres. 



Il peut ensuite exister une infinité simple de systèmes de relations sin- 

 gulières, parmi lesquelles trois systèmes sont exceptionnels. Ce cas peut 

 être défini soit par la donnée d'un seul système non exceptionnel, soit par 

 la donnée de deux systèmes exceptionnels qui devront être associables entre 

 eux. Les périodes dépendent alors de 3 paramètres. 



Il peut exister une infinité double de systèmes de relations singulières de 

 la forme pG -t- p'e' -i- p"5" parmi lesquels une infinité simple de systèmes 

 seront exceptionnels. Parmi ces systèmes exceptionnels, il en existera un 

 associable à tous les autres. Ce cas peut être défini par la donnée de deux 

 systèmes exceptionnels non associables. Les périodes dépendent alors de 

 2 paramètres. 



Il peut exister une infinité triple de relations singulières. Ce cas peut 

 être défini par la donnée de deux systèmes exceptionnels associables entre 

 eux et d'un troisième système qui ne soit associable à aucun des autres; les 

 périodes ne dépendent alors que d'un paramètre. 



Enfin il existe un cas plus particulier encore, qui peut être défini par la 

 donnée de 3 systèmes exceptionnels non associables entre eux. Les périodes 

 ne dépendent alors d'aucun paramètre. 



6. Par une transformation d'Hermite, un système de relations singu- 

 lières se transforme en un autre système de même nature. Si la transforma- 

 tion est du premier ordre, les quantités I et J sont des invariants. Lue telle 

 transformation est échangeable avec l'opération §. 



L'interprétation géométrique déjà connue (*) de la théorie de la trans- 

 formation est très utile dans celle étude. Soit un point de l'hyperespace 

 à 5 dimensions, de coordonnées homogènes a;,, a7„, 373, a?,, a-^, irg. Appelons 

 pour simplifier le langage, droite une variété linéaire à deux dimensions de 



(') G. Hlmbbkt, Cours de 1909-1910 au Coltè^'e de France el G. Cutiy, Thèse. 



