SÉANCE DU 8 JUIN I9l4- i653 



théorèmes à des équations d'ordre supérieur à deuœ. Envisageons, par 

 exemple, une équation d'ordre im à deux variables, que nous écrivons sous 

 la forme abrégée 



(/,/,- = o, I , . . . , 2 /« ; ' I S <■ H- A' £ 2 /?0- 



Soit z une solution régulière de cette équation, c'est-à-dire continue ainsi 

 que ses dérivées />,,;., dont les indices sont inférieurs ou égaux à ceux des 

 dérivées qui figurent dans l'équation. Supposons : i" que, pour cette solu- 

 tion z, l'équation soit complètement elliptique, c'est-à-dire que l'équation 

 en \ 



2 m 



= 



dp,\-2m-i 



ait toutes ses racines imaginaires; 2° que, dans un domaine (O de variation 

 de ses arguments, la fonction F soit, par rapport à leur ensemble, de 

 classe a en x et continue en y, ou de classe [3 en y et continue en ce, ou de 

 classe a en a; et p en y, mais dans tous les cas de classe y en (-» Pi,k) 

 (cf. loc. cit., p. 1 121), a et ji étant deux nombres >i et y le plus petit des 

 deux ('). Dans ces conditions, si la solution z appartient à lô, elle est de 

 même nature que F par rapport à x et y. 



Dans le cas particulier où a = ^ = y = i {cas analytique), nous obtenons 

 ainsi l'extension aux équations non linéaires du théorème donné par 

 M. Picard dans le cas des équations complètement linéaires(Co/^2/>Ze5 7-e«rfH5, 

 i^'"juillet 1893). D'autre part, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une 

 solution s de l'équation analytique (i), régulière d'un certain côté d'un arc 

 analytique AB, soit prolongeùhle au delà de AB, est que : prenne sur AB, 

 ainsi que ses dérivées des m — i premiers ordres, une succession de valeurs 

 constituant une fonction analytique. 



II. Des résultats analogues s'établissent quel que soit l'ordre de l'équation 

 ou le nombre des variables, et cela par une méthode uniforme. Celle-ci est 

 basée sur l'étude des dérivées au voisinage d'une surface frontière, et nous 

 allons en donner le principe dans le cas où l'on est conduit à envisager des 

 fonctions pouvant être analytiques, c'est-à-dire de classe i. 



(') Dans les deux premiers cas, il conviendra d'ajouter quelques hypothèses, en 

 nombre limité., sur l'existence de certaines dérivées de F par rapport à x ou y. 



