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Soit une éqiiaùon complètement linéaire d^ ordre nk q variables .r,, . . ., ar,^, 



(2) la,- ,-^/)/, ,-,^+ hz + f-30 



( /", , . . . , /y •= o, I n; i^i,-h. ..~hi,,:-ii)- 



les coefficients étant fonctions de x,, . . .,:r,^. Le type de cette équation, au 

 point de vue des caractéristiques, est donné par la nature de la forme 



^ = i«/ i,^'i---X^ (/, + ... + /,= «). 



Soit alors une surface S, constituée par une partie ou par la totalité d'une 

 surface fermée S, et sur laquelle z et ses dérivées jusqu'à l'ordre r sont 

 continues ('); appelons 'C,. l'une quelconque des dérivées d'ordre r et r/la 

 plus courte distance d'un point P{x,, . . ., Xg), intérieure S, à la surface S. 

 Supposons que nous ayons démontré en P les formules suivantes 



(3) 





<L(^ + c) (y = .,...,..^), 



M,, étant le module maximum des dérivées d'ordre </• sur S, L un coefficient 

 qui ne dépend que des a et des h et qui, ceux-ci étant donnés, est fixe pour 

 des surfaces }i de dimensions bornées, C le maximum de \c\. Dans ces con- 

 ditions, si les coefficients de l'équation (2) sont, dans une région ih et par 

 rapport à ( x, , . . . , »".,), de classe a, > 1 en a?, , . . . , a^ ^ i en x^, toute solution z 

 de (2), régulière dans A, est de même nature que les coefficients (-). 



Ce théorème s'étend à toute solution régulière : d'une équation non 

 linéaire de même ordre 



r (x,, . . . , Xq, z, ^/, ,...,, ;^) ;= o, 



pour laquelle la forme 



Opi, 



■XV. ..x;; (/, + ... + «,=z«) 



est de même nature que S, si F est, dans un domaine CD auquel appartient z, 



de classe a, en .r,, ..., a,, en x^, et y en (z,p, , ), y étant le plus petit 



des a. 



Il n'est peul-ùtre pas sans intérêt de signaler également le cas des systèmes d'équa- 



(') La con)iaissance de ces fonctions sur S doit entraîner l'unicité de la solution à 

 rintérieur de 2, mais les conditions peuvent être surabondantes. 



C) Si, au lieu de (3), on trouvait des formules contenant dv- en dénominateur (/Ji> i), 

 il faudrait envisager (yÉ?.$/ortc<ib«i (ie classe^ix. La principale difficulté réside dans 

 la démonstration des formules (3) ou analogues à (3). 



