SÉANCE DU 8 JUIN igiA- '655 



lions dilTérenlielIes, par exemple V/,(x, y'/,'') = o {h, A' = i , . . . , 7 ; / =r o, 1 , . . . , n). 



Si les fondions F/, sont, dans un domaine (0, de classe ot.±i par rapport à l'ensemble 



de leurs arguments, tout système de solutions appartenant à (D est constitué par des 



, .. . , / D( Fi, ■■■,F^) 



lonctions de classe ot. en a- I on suppose ■=-- — ^^ j^t^— ^ 



V ^ (j'i ï ■ • • î }'i/ ) 



Disons enfin que ces résultats se généralisent dans le cas des systcrnes 

 d'équations aux dérivées partielles, par exemple, parmi les plus simples du 

 second ordre, 



= //, ^.7, «,,-—,— - (/i, A_i, ...,7). 



dx' ' dy^ J"y -j^ ""• ^^ ^y 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un développement en série des puissances 

 d'un polynôme. Note de M. Richard Suppaxtschitscu, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Une généralisation, due à Hermite(QÈ'«CAe*, t. III, p. 432), delà formule 

 de Lagrange, permet. le calcul immédiat de certains coefficients d'un poly- 

 nôme F(^), d'ordre 



k a, + «., 4-. . .4- «,.— I 



•» 



au plus, quand on connaît les valeurs du polynôme et de ses dérivées, 

 jusqu'à l'ordre 7.,— i respectivement, aux points 



J7j <^ ^^2 ^ -^3 <^ ■ • ■ *^ *^V. 



Ces coefficients sont les A dans la formule 



1 = 1 



X [ ^y>' + a;.' {z _ .r, ) + . . . + a;».-" {z — .r, )«- ' ]. 



Les valeurs de F(^-,), F(a%), ..., F'{x,), F'(x^), ... sont données en 

 général par les valeurs correspondantes d'une fonction donnée y(.r). 



Quand on veut augmenter le nombre r, ou un ou plusieurs des a, le 

 calcul des A est à refaire entièrement. Pour parer à cet inconvénient, on se 

 sert de la formule de Newton dans le cas 



a, ^ «1 = . . . =^ «r ^ I 



et de celle de Taylor quand /• = i et a, quelconque. Mais on peut aussi 



