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conserver tous les points ce et augmenter les a. Alors on arrive dans le cas 



à la formule 



(.) F(^) = A„+A,,i.(-.) + A,[„-( = )]' + ... + A„_,U"-(^)]'- ('). 



Ici, g(z) est un polynôme du degré )•, dont les zéros, tous distincts, sont 

 précisément les .r. Les A sont des polynômes d'ordre (r — i) au plus : 



A,— m,„ z''-' 4- m,, z''-- -h . . . + »i,,,._, . 



Je montrerai ailleurs l'intérêt particulier de la formule (i) et d'autres, 

 plus générales encore, ainsi que leurs rapports avec la formule de Hermite, 

 avec l'intégrale de Gauchy et certaines intégrales multiples; j'esquisse ici 

 une démonstration de la forme du développement (i). Soit 



C,iz) = A,[g{z)]'. 

 On a évidemment 



G,(^) = o, C;.(.r)=:o Q'-"(^) = o, C/>ijc) = k,j\, 



pour x ^jTf, Xj., . . . , .z'y, . . . , jTr'f A/y étant des constantes connues. 

 Donc 



F(^) = Ao, 

 F'(a;) = A; + X„A,, 

 F"(ar)==A;4-C';(^) + AvA2 (yr=:i, 2, ..., r), 



F"'(^) = a;+ g;'(^) + c;(:r) + a-,,- A3, 



(') Celte formule a été donnée par J. Jacobi, dans son Mémoire posthume : Ueber 

 Reihenenlwicklungcn, welclie nach den Polenzen eines gegebenen Polynonis fort- 

 schreilen, etc. {Journal de Crelle, t. 53, p. io3-i26). Jacobi détermine d'abord les 

 coefficients des A/ en supposanty'(.r) donnée par une série de puissances, sans s'oc- 

 cuper préalablement de l'existence de la formule. Il reprend ensuite la question en 

 déraontranl qu'on peut mettre notre formule dans la forme 



le polynôme Pn + Pt c + . . . 4- Pn-^'" étant le polynôme g {Jc). H doit alors développer 

 les Y en séries de puissances de g{x), en se servant de la formule d'inversion connue 

 de Lagrange. Son procédé, relativement compliqué d'ailleurs, ne lui donne rien sur le 

 terme complémentaire. 



M. Frobenius traite des questions analogues dans son Mémoire : Ueber die Enlwick- 

 lung analyUscher Funktionen in Reihen, die nach gegebenen Funktionen fort- 



