SÉANCE DU 8 JUIN I9l4- i657 



La première relation donne r équations linéaires pour les coefficients 



'^^00) '"ou "*02! .... Wo^,_i, 



dont le déterminant est le déterminant de Vandermonde 



j'-i 



1 



X',: 



x;r 



X,. I 



^o, 



j'entre avec ces nombres dans les /■ équations qui dérivent de la relation 

 ¥'{x) = A'„ + kjjA,. .l'obtiens /■ équations pour les coefficients m, g, m,.,,..., 

 m,,.- 1, dont le déterminant est le même à une constante près, etc. 

 La méthode de Cauchy donne, pour le terme complémentaire 



l'expression 



R„( = ) 



R„(;) =/(--) -F(^), 



[{z-.a:^)(z — x,_)...{z-x,.)]" 

 ( m ) ! 



y(,vO(ï). 



^ étant un nombre compris entre x, et .r,. Si les points a-,, x.j, . . . , ./;,. sont 

 équidistants, x^ — ï'i = /, on a, par un calcul simple. 



H„(--)|< 



IV" I 



(/•«)! 



M 



M étant le module maximum de /''"'"(:') dans l'intervalle a-, ^s^a-j. 



On voit que le développement converge pour un champ étendu de fonc- 

 tions. On peut s'arranger souvent de manière que la convergence soit très 

 rapide. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les pulynomes trigonomélricjues. Note (') 

 de M. Frédéuic Kies/., présentée par M. Emile Picard. 



1° Dans ses recherches très délicates sur la meilleure approximation 

 des fonctions continues par des polynômes, M. Serge Bernstein a su tirer 

 parti du théorème suivant : 



grand 



schreilen {Journal de Crelle, t. 73, p. i-3o); il étudie particulièremenl le déve- 

 loppement de fonctions monogènes en séries de fonctions F„(x), qui sont les produits 

 des premiers facteurs (a; — a,), (.r — «.), ..., (j; — a„) d'un produit convergent. 

 (') Présentée dans la séance du 2 juin i9i4- 



C. R., 1914, I" Semestre. (T. 158, N» 23.) 2l4 



