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Etant donné un polynôme trigonométrique d'ordre n au plus 



y(cp) =: «„4- a, costp -+- 6, sin © + . . . 4- «„ cos/tcp -h ^'„ sin /! cp. 



50i^ I /( çp ) I < M />o«/- toutes les valeurs de 'f ; a/ors on a pour toutes ces valeurs 



(.) 1/(9)1 = «M, 



le signe d'égalité n ayant lieu que dans les cas/('-f) ^ it M sin/î(cp — a). 



M. Bernstein énonce et démontre ce théorème seulement pour des 

 polynômes ne contenant que des sinus ou des cosinus (Académie royale de 

 Belgique, 191 2); pour le cas général, il se contente de la relation moins 

 précise 



(2) |/fcp)|<o«M, 



qui suffit complètement pour le but qu'il poursuil. Elle suffit aussi pour les 

 applications aux séries trigonométriques que vient de donner M. Fejér 

 (Journal de Crel/e, t. 144). Il ne sera donc pas sans intérêt de voir que la 

 relation (2) résulte presque immédiatement de la formule évidente 



(3) /'(9) = -/ /{<^^e)iy^/.sh,ko\de 



( "~' ) 



e ) - /( sin n -H y A- [ sin A- S + sin ( 2 /( — /,) 9] [ ^ô 

 = - / 7(9 4- 9) sin «5 ;i + a V(/( _ /,-)cos/.9 \ dd ('). 



En effet, la parenthèse dans le dernier membre, pouvant se metire sous 

 la lorme — — — -g-» est constamment positive. Far conséquent, des inéga- 

 lités 1/(9 + ô)|< M et|sin«9|2i, il résulte 



\f'{w)\l— / (« +...)ofS = 2rtM. 



D'ailleurs la formule (3) montre que /'(':>) est égaleà la valeur que prend 



(') Gel artifice d'ajouter des ternies convenables fut appliqué dans plusieurs travaux, 

 sur les séries entières par M. Landau; récemment, M. Fejér l'a aussi utilisé pour les 

 polynômes trigonon]étri(|ues. 



