SÉANCE DU 8 JUIN 1914. l659 



pour = o /rt «"*""' moyenne arithmèticjue du développement trigonomètrique 

 (suivant les multiples de 0) de la fonction "infi^z^ + 0)sin«6. On peut donc 

 interpréter la relation (2) comme le cas spécial du théorème fondamental 

 de M. Fejér, d'après lequel les moyennes arithmétiques de la série de 

 Fourier restent comprises entre les bornes supérieure et inférieure de la 

 fonction développée. 



2° On peut se rapprocher de l'inégalité (1) par une évaluation plus pré- 

 cise de l'intégrale (3), savoir 



M 



(4) l/'(?)l 



— r |sin«5| « + 2_2](« - '^)cosA-9 \dB. 



Observons en effet que le développement en série de Fourier de la fonc- 

 tion |sin/iO| commence par le terme constant 



I 



27r 



/■" I r" 2 



- / |sin/i9|rf9=: — / |sin(/lrfM = — 

 r / 27: / t: 



et continue par des termes d'ordre ]> n — i ; il s'ensuit, grâce à l'orthogo- 

 nalité des fonctions trigonométriques qui interviennent, que l'intégrale au 

 second membre de (4) donne [\n. Par suite, on a 



(5) |/'(^)|<ii!^<,,.,8«M. 



3° La remarque que nous venons de faire rend presque intuitif l'ordre 

 d'idées qui finira par abaisser la limite jusqu'à /iM. Dans cetordre d'idées, 

 nous retomberons enfin sur une formule d'interpolation pour_/"'((p), trouvée 

 et établie d'une façon très élémentaire par M. Marcel Riesz (Comptes rendus, 

 27 avril I9i4)> cjui en déduisait comme corollaire le théorème complet de 

 M. Bernstein. Observons, en effet, qu'il est évidemment permis de rem- 

 placer dans ( 3), et alors dans (4), sinA/0 par g{n(i) en exigeant seulement 

 que la fonction §•(«), de période 2u, admette un développement en série 

 trigonomètrique qui commence par le terme sinw; et nous aurons à choisir 

 cette fonction g(u) de sorte que l'intégrale de \g(u)\ devienne aussi petite 

 que possible. Posons, avec r <^i, 



„ . - . ■ r- (i — /•*) sin M 



(6) ^( « ) = siii // — /■- sin 5H + /■* sin 5 M — . . .^= ; r; 



^ ' 0\ / , ^ 2/-^ C0S2U + r' 



la fonction impaire g(u) étant positive pour o ■<?/ <^-, on aura 



/ \g{ii)\du = 2 I g(u)du = f\ (\ — Y -^ . . . j = -arc tangr. 



