l66o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Donc le développement de |^('/)l commence par le terme constant 



2 



— arc langr. 



Par suite, en remplaçant dans (4) |sin/?0 | par |^(/i6) | et en appliquant 

 au cas actuel le raisonnement qui conduisait de (4) à (5), puis passant à la 

 limite /•—>!, on obtiendra 



!/'(?)!% / \g{nd)\{n+...)de 



= — / — arc tan g/- -h. . • («+...) 



4«M AiiM 



■ arc tang/--> arc lang i ^ «M. c. q. f. u. 



m 



4° Nous venons de voir qu'en choisissant convenablement la fonction 

 gÇu) = sïnti -\-..., rintégrale de | g{u) \ peut être rapprochée indéfiniment 

 de u; d'autre part, l'inégalité 



Il ^^ f si n ?/ ( si n (/ -f- . . . ) f/(/ r= / s'in ii i;( u) du "1 j \ g( ii) ] dit 



montre que ladite intégrale ne peut pas être abaissée au delà de ti. C'est- 

 à-dire que u en est la limite inférieure précise. Mais on se rend aisément 

 compte que cette limite n'est jamais atteinte. Passons maintenant aux 

 fonctions primitives G(z<) ^ — cosm-h... qui correspondent aux séries 

 o-(^m'j =: siuM -h... intégrées terme à terme. Les fonctions G(m), pério- 

 diques de période 2tc, seront à variation bornée, leur variation totale sur 

 l'intervalle (— 7:,ti) étant égale à l'intégrale de |^(")|- D'autre part, 

 quant aux formules qui donneniy(cp), on y peut remplacer la difierentielle 

 sin«0(/0 ou^(/20)r/0 par /^r/G(/^C)), l'intégrale ainsi modifiée devant être 

 prise au sens de Stielljes. On est donc amené tout naturellement au pro- 

 blème suivant : Déterminer la fonction G (m) = — cosu +... de sorte que sa 

 variation totale devienne aussi petite que possible. Dans ce cas, la limite injé- 

 rieure - sera effectivement atteinte par la fonction périodique 



G ( « ) = — • COS u -\- t: cos 3 « — -g cos 5 M + . . . , 



égale constamment à ± 7 en changeant le signe chaque fois que u passe par 



