SÉANCE DU 8 JUIN I9l4- 1661 



un multiple impair de -• On parvient à cette fonction entre autres en 

 intégrant la fonction (G) et posant ensuite /- = i. 



La fonction G(nO) étant constante, sauf aux points (2^- — i) — où elle 

 est discontinue, l'intégrale de Slieltjes au second membre de l'identité 



/'(^)=_^ r/(9-i-5)'-^^./G(«5) 

 '^ un ,1 ■' ' I — cosô 



se réduit à une somme de 2n. termes correspondant à ces discontinuités et 

 faciles à calculer, et c'est ainsi qu'on retombe précisément sur la formule 

 d'interpolation de M. Marcel lliesz. 



5" Il convient enfin d'ajouter qu'en remplaçant dans nos raisonnements 



le polynôme positif particulier _ ^ — ^ par d'autres polynômes positifs, 



on obtiendra de nouvelles relations portant, au lieu de /(cp), sur d'autres 

 polynômes qui dépendent d'un polynôme donné /('^). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence absolue des séries 

 tri gonométrùi lies. Note de M. Serce Iîerxstei.v, présentée 

 par M. Emile Picard. 



On sait que les séries trigonométriques ne sont pas, en général, absolu- 

 ment convergentes. Voici un tbéorème qui montre la relation entre la 

 convergence absolue et le degré de la condition de Lipscbitz à laquelle 

 satisfait la fonction. 



Théorème. — Si la fonction f (x) satisfait à une condition de iJpsrhitz de 

 degré a. ^ -> son développement trigonométrique est absolument convergent ; 



au contraire, quel que soit le nombre tx, <^ -, il existe des fonctions satisfai- 

 sant à une condition de Lipschitz de degré a,, dont le développement trigono- 

 métrique nest pas absolument convergent. 



La démonstration s'appuie essentiellement sur le fait que l'ordre de 

 grandeur du maximum de 



S = |r7, Ih-Io-, |4-. 



^<7a. cos(A-j' — Pi 



$ I , est sfn. 



