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Poux- obtenir ce dernier résultat, j'ai résolu le problème suivant : 



k=p—i k=p—l 



Déterminer la fonction /i,{x) de la forme ^ a,,coskxou V a^^sinkx 



(suivant que p est un nombre premier de la forme 4 [J^ + i ou lt^-\-^) qui 

 s'écarte le moins possible de zéro, en satisfaisant à la relation 



(.) • "i'(|)«.=M, 



k=\ 



oii {-\ ^=^±1 est le symbole de Legendre, M étant un nombre donné. 

 La fonction cherchée est déterminée par la propriété que 



En effet, les (2/) — i) conditions distinctes 



déterminent sans ambiguïté les coefficients de 



F(x) == -«„+«, cos^r + 6, sina;-4-. . .-(- èp_, s\n{p — \)x, 



et l'on trouve 



p .. . '='■ 



P — ^' V » 2 /A 71 p — /i 'V' . .2 ik n 

 ak—'i .. ■ >, A,CQs , ^^.— 2i— r— > A, sin 



P 



1 = 1 



ce qui n'est rien d'autre que la formule d'interpolation obtenue récemment 

 par M. Jackson ('), en partant d'un point de vue diflërent. En appliquant 

 cette formule et en tenant compte des propriétés classiques des sommes 

 de Gauss de la théorie des résidus quadratiques, on trouve, suivant que 

 /) — 4 [J- -H I ou jo = 4 f^ + 3, 



(2) fp{x)—\ y (/> — A)(-^)cosAx ou fp{x)-=i\ y {p — k)i-\%\nkx. 



En vertu d'une propriété importante de la formule de M. Jackson, on a 



(') A formula of trigonométrie interpolation {Jiendiconli ciel Cire. mat. di 

 Palermo, t. XXXVII). 



