SÉANCE DU 8 JUIN 1914. l663 



fi,(x)\'£ I. D'autre part, la somme des modules des coefficients dey^, (aï) 



(3) s = | «,!+... + !«,,_, | = (1U, 4-.. .+ ( ^^^-^^ )«;,_, = -^^— ^- 



Mais, s'il existait une fonction cp^, ("C) satisfaisant à la même relation (3) 

 et telle que |ç^(,r)|<:^i, on en conclurait qu'il existe aussi une fonction 



'j/ (a;) = V C;t cos kcc (pourra = ^a-h 1 , par exemple) pour laquelle, d'une 

 part, 



P-i 



A = I 



fc\ 



2 -V/.=o, 



PJ 



et, d'autre part, (- ) '1 (•--- ) >f^ (^' = ' 5 2, . . . ,/> — i); or ces deux pro- 

 priétés sont manifestement incompatibles. Donc la fonction ^^ (a:) s'écarte 

 le moins possible de zéro parmi toutes les fonctions considérées. 



C. Q. F. D. 



Il est très probable que les fonctions /^,(,r) s'écartent le moins possible 

 de zéro, non seulement entre celles qui satisfont à la relation 



'k\ p-i 



Pj s/p 



r 



mais aussi entre toutes celles qui satisfont à Xl ''/cl =^= — ^ ' 



pour la détermination de l'ordre de grandeur du maximum de la somme 

 des modules des coefficients, il suffit maintenant de remarquer qu'on a 

 d'une façon générale 



SI 



2] «A COS (4a;-î5yt) 



k=\ 



2 l"*! <V/2rt, 



I, OÙ 4 sont des entiers quelconques. 



