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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques méthodes de sommation et leur 

 application à la série de Fourier. Note de M. T. -H. Gronwali., présentée 

 par M. l^nile Picard. 



I. Soient//o + //, + ... + u„ -i- . . . une série quelconque, et s'„" la moyenne 

 «''""■ de Cesàro d'ordre /• de cette série, c'est-à-dire 



n 



où 



.„,_ (/■ + ])(r-|-2)...(/- + «) . 



si, pour « infini, l'expression ([) tend vers une limite s, la série donnée est 

 dite sommable d'ordre r par la méthode de Cesàro. 



Considérons, avec M. de La Vallée-Poussin ('), une autre expression 

 moyenne, savoir 



n 



-t-i n\n — i)...{n — À -h i ) 



si limV„ = s' existe, nous dirons que la série donnée est sommable par la 



méthode de M. de La Vallée-Poussin avec la somme s' . 



J'établis d'abord ce théorème, où nous supposerons /• entier : 



L Si la série m„ -l- /<, H- ... -l- ?<„+.. . est sommable d'ordre donné r par 

 la méthode de Cesàro^ elle l'est aussi par la méthode de M. de La Vallée-Poussin 

 avec la même somme (s' = s). 



La réciproque de cette proposition n'est pas vraie : 



II. // existe des séries sommables par la méthode de M. de La l 'allée- Poussin , 

 qui ne le sont plus par la méthode de Cesàro quelque grand que soit r. 



Par exemple, la série i -h x -h . . . + x" -^- . . . est sommable, avec la 



somme , pour x^i et |a;];5i, par chacune des deux méthodes, si 



< I , la 



l'on prend r^i dans celle de Cesàro. Mais, pour | j-| ^ i et 



( ') Bulletin de f Académie des Sciences de Belgi<iue, 1908. 



