SÉANCE DU 8 JUIN IQiZi. l665 



mélhode de M. de La Vallée-Poussin donne encore la somme ^ tandis 



que celle de Cesàro ne converge pour aucune valeur de r^ 



2. Soit /(x) une fonction absolument intégrable dans l'intervalle 

 (— u H- ... + -) et disons, avec M. de La Vallée-Poussin, que cette fonction 

 admet, au point x, la dérivée généralisée _/''"' (a;) d'ordre r si l'on a un déve- 

 loppement de la forme 



A = 



où / = o OU I selon que /• est pair ou impair, et lim oj(a7. A) = o. 



Formons, pour la série de Fourier correspondant à /{x), les moyennes 

 de Cesàro d'ordre /• -f- i et celles de M. de la Vallée-Poussin, lesquelles 

 nous désignerons par *','"^" |/(.r) j et V„{/(\r)| respectivement. Dans le 

 travail cité, M. de la Vallée-Poussin fait voir que 



(3) lim -i^V„;/(,r)| =,/('■) (^) 



cï. 



en tout point où le membre droit existe. Je fais voir que 



(4) lim~s\r^']/(x)\=fr^{x), 



de sorte que nous avons le théorème suivant, qui contient comme cas par- 

 ticulier, pour /• =■ o, un résultat bien connu de M. Fejér : 



IIL Lorsque /a dérivée généralisée f'^''\x) d'ordre r existe au point x, les 

 dérivées r'""""' des moyennes de Cesàro d'ordre r -i- i de la série de Fourier 

 de f{x) y convergent vers /'•'"' (x). 



Du théorème III découle immédiatement, à l'aide de I, la proposition (3) 

 de M. de La Vallée-Poussin, tandis que, en vertu de II, celle-ci ne suffît pas 

 pour établir III. D'ailleurs, III cesse d'être vrai quand on y remplace 

 l'ordre r -f- 1 par r. 



Un travail étendu paraîtra dans un autre Recueil. 



G. U ,1914, 1" Semeslre. (T. 158, N- 23.) 213 



