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ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur une propriété de la fonction ^(^) de 

 Rlemann. Note de M, B. Rouliguine, présentée par M. G. Humbert. 



Ï.-J. Slieltjes (') a été conduit dans ses recherches sur les fractions 

 continues à la classe remarquable de fonctions f (x), non identiquement 

 nulles, telles que 



/x" f{x) dx ^o (« = o, I, 2, 3, . . .). 



Une telle fonction doit nécessairement changer de signe pour un 

 nombre infini de valeurs réelles de la variable x. 



M. Hardy, dans "une Note récente (-), a démontré que la fonction i (/) 

 de Riemann 



OU 



I 



S = \- tl 



2 



possède un nombre infini de racines réelles. 



En se servant des intégrales établies par M. Hardy dans son travail, on 

 s'assure aisément que la fonction ^ {t) appartient à la classe de fonctions 

 indiquée plus haut. 



En effet, de la formule de M. Hardy, 



. Vit . , , 

 / ; (ft.=:{—i)Pj-COS- (/) = 0, I, 2, 3, ...), 



4 



.«ch^^f^)/- 



on déduit 



/ , _^\, dt = {-iy-cos-^ (/j — o, r, 2, 3, ...), 



et après des calculs faciles on parvient au résultat 



l-p c\\-7-l{t) dl = (/? = 0, I, 2, . . .). 



(' ) Correspondance d'' llermite et de Slieltjes, t. Il, Lettre 328. 

 (-) Comptes rendus, 6 avril 1914. 



