1744 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



contient un système d'axes coordonnés rectangulaires des x et des jk, '?> 

 vitesse V, fonction de x et de y, du fdet (laide qui perce cette section au 

 point quelconque (a-, j), est régie par l'équation aux dérivées partielles 



très simple A^V = — K, où S., désigne !e symbole opératoire -7-7-, + y-^ du 



paramètre différentiel du second ordre de la fonction inscrite à la suite, et où 

 K est une constante positive donnée, inverse du coefficient de viscosité du 

 liquide, mais proportionnelle à son poids spécifique et à la pente motrice I 

 produisant l'écoulement. De plus, le long du contour / de la section a, 

 l'adhérence ou le frottement de la paroi immobilisent le fluide ; de sorte 

 qu'on a, pour achever de déterminer V, la condition définie 



V = o au contour •^). 

 Il suffit donc de poser, par exemple, 



V — -K— + 0», 



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pour que la fonction inconnue $ soit, en x et y, la fonction harmonique 



(à paramètre différentiel A., nul) qui prend les valeurs K— le long du 



contour y de la section donnée. 



A partie cas de la section rectangulaire a = ^ab, limitée par les quatre 

 droites (x- — a-)(y- — &-) = o, où l'intégrale, due à Fourier, est une série 

 infinie de termes transcendants contenant, chacun, le produit d'un cosinus 

 hyperbolique par un cosinus circulaire, et les cas de certains rectangles à 

 côtés courbes ou de certains espaces annulaires, auxquels l'emploi des 

 coordonnées curvilignes permet d'étendre la solution transcendante de 

 Fourier, la méthode la plus féconde pour traiter cette question est celle 

 dont Barré de Saint-Venant a montré la richesse dans son célèbre Mémoire 

 sur la torsion des prismes élastiques (problème identique analytiquement à 

 celui de régime uniforme dont il est ici question), et que j'ai exposée au 

 n" 450* du Tome II de mon Cours d' Analyse infinitésimale pour la Méca- 

 nique et la Physique (fasc. II, p. f\\Ç)' à 4-6*). Elle consiste à exprimera 

 par un polynôme dont chaque partie, homogène, d'un degré quelconque n, 

 doit, pour satisfaire à A.^ = o, être formée linéairement au moyen des 

 deux intégrales homogènes évidentes (.r ± j'y/— i)". En s'arrêtant aux 

 termes du n'*'"" degré, l'expression ainsi obtenue pour V est, avec les 



