1746 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



liquement exactes les deux vitesses, raaxima V et de débit U, auxquelles 

 conduira la formule (i) corrig'ée de la sorte. 



III. L'exemple le plus intéressant qu'on puisse donner de cette inté- 

 gration approchée par la formule (i), est celui de la section carrée 

 (7 = l\(i^, compris dans le cas, un peu plus général, de la section rectangu- 

 laire <j= [\ab k contour représenté par l'équation (./r — «-) {y- — h'-) = o, 

 cas où la solution exacte consiste dans la série infinie de termes transcen- 

 dants due à Fourier. 



Jetons un coup d'œil sur ce cas plus général. 



Et, d'abord, la symétrie du rectangle par rapport aux deux axes des j et 

 des oc astreint l'expression de V à ne contenir x ei y que par leurs carrés 

 X-, y- ; en sorte que tous les coefficients B s'y annulent, et, même, les coeffi- 

 cients A d'indice impair. Il n'y subsiste donc que A„, Aj, A,,, A„, Si l'on 



commence par s'y borner à A„, tout ce qu'on pourra faire pour vérifier la 

 condition au contour sera d'annuler V aux quatre sommets, savoir, pour 

 l'unique système de valeurs (x-^= a-, j/-- = />-). Une première approxi- 

 mation exige donc que l'on prenne, en même temps, les deux coefficients 

 suivants Aj, Aj, afin de pouvoir, aussi, annuler V aux milieux des côtés, 

 c'est-à-dire, pour les deux systèmes de valeurs (x'-^a-, y-z^o), 

 (x-=o,y' = h-). 



Et chaque degré ultérieur d'approximation exigera, de même, deux 

 coefficients pairs A de plus, pour qu'on puisse annuler V, en sus, soit aux 

 milieux des demi-côtés, soit à leurs tiers et à leurs deux-tiers, soit à leurs 

 quarts, deux-quarts et trois-quarts, etc. 



IV. Mais arrêtons-nous seulement au cas du carré^ où h^=a et où la 

 figure admet comme axes de symétrie, outre les deux médianes axes des œ 

 et des y, les deux diagonales, bissectrices de leurs angles. L'expression 

 de V y sera donc symétrique en x et en j; de sorte qu'il suffira d'y vérifier 

 explicitement la condition V = o sur un seul demi-côté, par exemple, pour 

 y =1 a et j;- croissant de zéro à rt. Or, la première approximation, obtenue 

 au même numéro cité 450* de mon Cours (V Analyse injinilésimale pour la 

 Mécanique et la Physique [p. 423*, formule (69)], donne, en observant que 



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K ff / x--\- y'^ a'' — a;* -l- 6 ic'- y"^ — ■ y* 



(2) .V= ri T^ 



•à a" 



Il en résulte que, si on la complète par des termes pris à la série en- 



