1772 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ceci est immédiat, d'après les 5 relations, pour les s polynômes 



'-'i,o,...,o(j^ii • • • ) ''^ii ^)i Uo,i,o,.,.,o('^i) • • • 1 J"jj '')i • • • ï L'o,»,...,: (■'"1 1 • • • • '^'.o ^)' 



En supposant la formule (5) vraie pour le polynôme 



^iiii.m^ iftfK'^ij -^2» •••» ^Jï *^}> 



on voit facilement, à l'aide des s relations, qu'elle subsiste pour les poly- 

 nômes U„_ „ ,,,('^1' •••)^fj^)) où n,, Wo, ..., n, sont respectivement 

 égaux aux m,, m.,, . . ., m^ augmentés ou non d'une unité. La formule (5) 

 est donc démontrée de proche en proche. 

 De la formule (5), nous déduisons l'égalité 



(6) {^~x\-...-x■',) ^U,„„,„, „,,(.r„...,jv^) 



X U„„„, «,(J"), . . .,.i-s,l)da\dx,. . .djs^o, 



le domaine d'intégration étant x: -^ œl -\- . . . + x'I^i et où X << - et 

 w, + 7w, -+- . . . -H w^ :^yj, -I- . . . +/>i. Les fonctions qu'on doit associer aux 

 polynômes U„,^ ,„ (a;,, . . ., x^, A) seront définies par le développement 



A — - 



(i — 2 a, a;-, — ia,j;^ — ... — iasXs-\- a\ + a\ + . . .-\- al) 

 ::^ «j rt, ' (ij - . . . «^. ' V„,^ ,„^ (J^i) . • . 1 ■i'i) A ). 



Pour démontrer que l'on a 



r -).- 1 



(7) / (1 — •a?? — • • ■ — -^-s) -U,, ,,,,(.2^1, Xs,l) 



X V„ nS-^ly . . ., J-o, X) (V.i-, . . . rfj-j,= O, 



le domaine d'intégration étant x'^ -\- . . . + x'^ Si , X <i - et si l'on n'a pas en 

 même temps m, = n,, 7/12 = n.,, . .., ttz^ = n^, il suffit de voir que 



/ (• ''1 - • • ■^'s ) LI;H|, «, «;, (-yii ■ • • I -^i) A) 



X (i — 2rt,.r — ...— 2ajJ?i + aj +...-+- rt;) '^ ff.f, . . . dx^^z C«""<^2"' • • • "'"S 



intégration étendue au même domaine et où C estune constante. 

 Des égalités (6) et (7) on conclut 



/ (I — .r: —...— xf) = V„,, ,„,(.T-,, ?•,. >.) V„ „, (.r,. ..., .r,. >) rfr, ... f/.r, = o 



pour le même domaine dinlégration et où m^ -h . . . + 111^^ n^ + . . . -\- n^. 



