1774 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Il recherche quelle doit être la forme de F, ^,, ..., ^^, pour que le terme 

 général de 4> soit une fonction hypersphérique de degré [j.; en prenant, en 

 particulier, 



y, = ...= y,= ^'+--+^'~' et F = (.r| + . . . + x^,- i)^, 



de façon que la fonction $ satisfasse à toutes les conditions du lemme cité 

 ci-dessus, il obtient immédiatement son développement en série de poly- 

 nômes U;^'_ „, ; l'identification de ce développement et de la série (II) 

 donne, sans calcul aucun, la formule (I). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la relation entre certaines méthodes pour 

 la sommation d'une série divergente. Note de M. Cuarles-J\. Mooke, 

 présentée par M. J. Hadamard ('). 



Dans un Mémoire de l'année 1908, M. de La Vallée-Poussin a proposé 

 une méthode pour la sommation d'une série divergente ('), qui est d'une 

 application très large. Par exemple, l'auteur lui-même a montré, dans le 

 même Mémoire, que cette méthode peut s'appliquer à sommer non seule- 

 ment la série de Fourier d'une fonction quelconque absolument intégrable, 

 mais aussi toutes les séries dérivées de cette série. 



Cette propriété conduit à supposer que le procédé de M. de La Vallée- 

 Poussin doit servir à faire la sommation d'une série sommable (CX) 

 pour k^o, c'est-à-dire sommable par les moyennes de Cesàro d'ordre 

 quelconque. J'ai vérifié celte supposition, et l'objet de cette Note est d'in- 

 diquer de quelle façon on peut démontrer que le procédé de M. de La 

 Vallée-Poussin est plus général que le procédé de Cesàro. 

 . La démonstration repose sur un théorème qui est une légère modification 

 d'un théorème (') de M. T.-J. Bromwich. Ce théorème s'énonce de la 

 façon suivante : 



Considérons une série ia„ sommable (C^) ayant la somme S, et une suite 

 de fonctions f,(cc), /.,(x), f^(^a-), ... définies pour un ensemble (j;) de 



(') Noie parvenue avant la publication de la Note antérieure de M. Gron>\all, qui 

 énonce le même résultai. J. H. 



{'') Voir Bulletin de la classe des Sciences de l' Académie royale de Belgique, 

 1908, p. 233. 



(^) Voir Maliieniatisclie Annalen, l. LXV, 1908, p. 359. 



