SÉANCE DU l5 JUIN I9l4. 1775 



valeurs de x ayant au moins un point limite t „ qui n^esl pas un point de V en- 

 semble. Si ces fonctions sont te/les que 



(A)' V„/.|A''-'/„(.r)l<K 



(B) lini n''/„(.T) = o 



«' — ^ oc 



(C) lim/„(x) = i. 



où K est une constante positive, la série l,a„/„(x) convergera (x), et nous 



aurons 



lim la„f„{œ) = S. 



J— >-.r„ 



Il est aisé de voir que la suite des facteurs 



• m m {m — i) m (m — i){»i — 2) 



I, 



;/( + I (m + \) (m -h 2) (m + i) (m -h 2) (m -h 3)' 



par lesquels les termes successifs d'une série sont multipliés dans le procédé 

 de M. de La Vallée-Poussin, sont des fonctions de m qui satisfont aux 

 conditions (B) et (b) pour l'ensemble de valeurs m = i , 2, 3, . . . , et le point 

 limite -+- y^. Il n'est pas aussi évident que la condition (A) est remplie, et 

 la preuve de ce fait soulève quelques difficultés. 



La démonstration que le premier membre de l'inégalité (A) reste toujours 

 fini peut être réduite à la preuve que l'intégrale 



r' p-|F„_,.,(/^./ip)i 



•^0 (, _pî)T(,_p)«-"P(,4-p)n+"P 



oùF„+, (n, «p) est un polynôme en n et en np qui est au plus de degré 

 («+ i) en \/n et np, reste finie pour n = i, 2, 3, . . . . La quantité sous le 



signe / devient infinie avec n au voisinage de p = — => mais, en partageant 



J yn 



l'intervalle d'intégration en trois parties (0,-=)) (-=>-3-= )> ( ^f' i ) ' on 



V V'V VV'î V"/ \s/n J 

 démontre successivement que chacune des trois intégrales qui en résultent 

 reste finie. 



