1776 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE . — Sur une méthode directe du Calculdes variations. 

 Note de M. Leonida Tonei.li, présentée par M. J. Hadamard. 



1 . La méthode tout à fait générale que nous nous proposons d'appliquer 

 au cas particulier des extrêmes de l'intégrale I(j) = / f{x,y ,y')dx&?.\,\int 



méthode directe. C'est la méthode entrevue par C. Arzelà (1897), que 

 M. Hilbert (1900) suivit, en partie, dans ses travaux bien connus sur le 

 problème de Dirichlet et que l'on emploie dans la théorie des fonctions con- 

 tinues usuelles pour démontrer l'existence des extrêmes. Nous la trans- 

 portons entièrement de l'Analyse ordinaire au Calcul des variations. 



Nous établissons d'abord que, dans les conditions où nous nous plaçons, 

 l'intégrale \{y) est une fonction semi-continue inférieurement de la courbe 

 y=:.y(^x). Puis nous choisissons une suite minimante j', (a;), yî(;r), ..., 

 c'est-à-dire telle que I[j'„(a:)] tend, pour n^cc, vers la limite inférieure 

 des valeurs de l(y), et nous démontrons que cette suite admet, du moins, 

 une fonction limite. Cette fonction limite minime, alors, l'intégrale 1 en 

 vertu de la semi-continuité inférieure. Ainsi, l'existence du minime de I est 

 établie. Nous démontrons enfin (cela dans une autre Note qui paraîtra 

 prochainement) que la fonction minimante satisfait (dans ses parties inté- 

 rieures au champ considéré) à l'équation différentielle d'Euler, en nous 

 appuyant sur la remarque que toute fonction absolument continue qui 

 annule la variation première de l'intégrale l(y) est une extrémale, si cette 

 intégrale est régulière. 



Notre méthode échappe à la critique adressée à la première des méthodes 

 de M. Hilbert, c'est-à-dire que l'on n'y suppose plus à l'avance le problème 

 résolu im Kleinen (suivant l'expression de M. Bolza). Elle a un champ d'ap- 

 plication bien plus vaste que toute autre méthode directe et est, en même 

 temps, plus conforme aux idées et aux nécessités du calcul fonctionnel. 



2. Le problème que nous considérons a été étudié aussi par M. Hada- 

 mard (') qui a donné une méthode élégante d'approximations successives 

 ayant l'avantage d'être effectivement un procédé de calcul pour la solution. 

 Cependant, comme il est bien naturel, cet avantage est aux dépens de la 

 plus grande généralité des résultats. 



(') Comptes rendus, 1906, et Mémoire sur le problème d' Analyse relatif à l'équi- 

 libre des plaques élastiques encastrées {Mémoires de l' Académie des Sciences, 1908). 



