SÉANCE DU l5 JUIN 1914. I777 



Dans cette Note et dans une autre ultérieure nous énoncerons les propo- 

 sitions auxquelles nous sommes parvenus. Nos propositions comprennent 

 et complètent celles de M. Hadamard, parce qu'elles atteignent le but 

 même dans le cas où sa méthode rencontre des difficultés ou ne s'ap- 

 plique pas. 



Nous faisons remarquer qu'on peut trouver quelques cas particuliers de 

 nos résultats parmi des propositions très intéressantes dans le Mémoire de 

 M. S. Bernstein ('), Sur les équations du calcul des variations, qui s'est 

 placé à un point de vue tout à fait opposé au nôtre. 



3. Soit _/'(j7, y, y) une fonction finie et continue avec ses dérivées par- 

 tielles des deux premiers ordres dans tout le champ (A) : 



Soient, en outre, vérifiées les deux hypothèses suivantes : 



I. fy'- = -r— > 0, pour tous les points du champ (A) ; 



II./>- — N, pour les mêmes points, et /(a?, j,j') > | v|'+'m(r'), pour 



tous les points du champ partiel (A') (alix^b, — 3c<; r<; + co, | v'j>M), 



étant a>o et m(y) une fonction continue tonjours positive Oo) telle 



que lim \y\'~^ m(y) = y:. 

 |vl— y» 



Les hypothèses précédentes étant vérifiées, parmi toutes les fonctions 

 y = y(,r) absolument continues dans (a, b) satisfaisant aux conditions 



Y(a) ^ p,„ y(h)-—pi„ il en existe du moins une qui minime Pintégrale 



^. i> 



' a 



4. Soit (B) un champ du plan {^xy^ tel qu'il contienne tous ses points 

 limites lesquels se trouvent à distance finie. Le théorème précèdent subsiste 

 encore si l'on impose, en outre, aux fonctions y 3= j'(a") en question, lu condi- 

 tion que les courbes quelles représentent doivent toujours appartenir au 

 champ (B). 



5. Soient L et L' deux courbes, ou, plus généralement, deux ensembles 

 qui appartiennent au rectangle infini a'Sx'Sb, — yi<^y <C^ et qui con- 



( ' ) Annales de l'École Norm. siip., 1912. 



C. R., 1914, I" Semestre. (T. 158, N* 24.) 229 



