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II (/>.r, qP)\ par Ô, , 0, ■/], les valeurs des trois premières pour ,r = o ( ' ), et 

 considérons la fonction ']> (r) définie par 



C'est évidemment une fonction entière de x\, son développement suivant 

 les puissances croissantes de q résulte de cette définition et se présente 

 ainsi : soit un entier positif de la forme 4^ — P'i décomposons-le de toutes 

 les manières possibles en deux facteurs 



(1) h^-p = dd„ 



sous les conditions pcl<^fl, et d,^t(^n -h ^) modp, t désignant ± i, 

 c'est-à-dire soit + i, soit — i. On aura 



(2) ^(^) = _!..(_,)"" ^ V(_,y^./~^gcH/'"-, 



N 



la somme ^ portant sur les valeurs entières de N qui rendent N — j positif, 

 et la somme V portant sur les décompositions (i) de 4N — jj. 

 La fonction '\^(x) vérifie les relations 



vj;(x -f-Tt-r) ——']>(,») -H i ,y '•/• e-<2"+"'-'<l»(.r), 



qui peuvent la définir directement. Poury> = i, et (par suite) « = 0, elle 

 se confond, à un facteur constant près, avec la fonction 'l'(a-) de mes ^^oles 

 antérieures. 



2. Posons encore 



(3) d;^(.,.),= ^(_,)''^ -^ ^/"■♦^Se^P''- 



N 



le second membre étant celui de (2), avec la suppression du facteur (— i)^; 

 on établit la formule 



_. / !lzl) _ 



2p 



/- ■ : 



(' ) Pour la signification de (■), (.r, q). . . . , voir ma Noie du 26 janvier. 



