SÉANCE DU 22 JUIN igi/j. i843 



extension de la formule (7) donnée dans la Note du 2G janvier. On en 

 déduit les conséquences suivantes : 



Les entiers yD et n étant fixés dans les conditions indiquées plus haut, on 

 décompose un entier positif quelconque, du type 8M -f- 3, en trois carrés, 

 selon la formule 



(4) 8M 4- 3 =:/;-(2/i + l)- + /J-(2A-t- l)-+ (2/»<7-+- 2« -+- l)-, 



h, k, G étant des entiers =0. On voit que, dans cette décomposition, les deux 

 premiers carrés sont ceux de multiples de jo; le troisième est celui d'un 

 entier impair congru à 2/1 + i, mod p\ naturellement, la décomposition 

 n'est possible que si 8M 4- 3 e^(2« -1- i )- mod/). 



D'autre part, décomposons 8M -f- 3, selon la formule 



(5) 8M + 3 = [/;(2p4-i) + -2/( -i-i]-'-t-/.,/f/,: 



avecp = o;rf,f/, > o;/)f/<^, ; rf, e=e(4« -i-2)mod/): s = ± i ; nous aurons 

 la relation, vérifiée quel que soit .r, 



(6) y (_ ,)<Te2/"J'-'-=;— 4 C £(— i)PeS'"'''-+/'(2p+i)'^, 



y s'étendant à toutes les décompositions (4) et ^ à toutes les décompo- 

 sitions (5). 



C'est là une liaison intéressante entre certaines représentations d'un 

 entier par les formes a- + h^ = c- et z'- ■+- tu\ le résultat devient plus élé- 

 gant si l'on introduit les réduites principales indéfinies de déterminant 8M + 3, 

 comme je l'ai fait dans une ÎNote du 22 décembre igiS. 



Désignons par (a, 6, c) une réduite principale indéfinie de déterminant 

 8M + 3, pour laquelle « + c> o; soient plus spécialement ;«. celles de ces 

 réduites pour lesquelles on a, en outre, 



a^o; c ^ï £(4" -i- 2) ; 6 = £(2«+i) (inod/)); 



£ étant ± I et 6 la valeur absolue de h. 



La relation (6) se traduit alors ainsi, /(j?) représentant une fonction 

 (pielconque de x : 



La somme - ( — i ) " !/"( 2/) 7 -f- 2 « -|- 1 ) , étendue aux décompositions ( 4 ) 

 </e 8M-f 3 en carrés, est égale à la somme S ( -5-^ l/'[£(Z' — a)J, étendue aux 



réduites é^-^ p désigne la quantité h (a + c). 



On obtient des résultats intéressants en supposant /"(^ a') égal à i ou à x-. 



