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3. La fonction 4'(^) présente également une liaison remarquable avec 

 les formes quadratiques binaires définies; on établit en edet la formule 



2 porte sur les valeurs entières et positives de N rendant positif l'exposant 

 de y; S s'étend aux classes de formes quadratiques, binaires et positives, de 

 l'ordre propre, de discriminant 4/'(N + n) — (2/1 -h i)% pour lesquelles 

 les deux minima impairs, /;/, et m, (Wi^/Wj), vérifient les congruences 

 /Wi^s— £(2/? -+- i) ; m.,;^^i{2n -h i) modp, où £ désigne toujours ±: i ; 

 enfin, au second membre de (7), m,, m.,, t ont les significations qu'on vient 

 d'indiquer. 



On déduit de (7), en chassant le dénominateur ^(cc), la formule sui- 

 vante, où/(x) désigne une fonction quelconque de j" : 



//)., 



(8) v(_ ,yy 2/- ± ' , ' = (- 0^'2' ^fA^pd) 



Au premier membre, 1] s'étend aux classes de formes positives de 

 l'ordre propre, de discriminant 4 N + 3 — 4^^» pour lesquelles les minima 

 impairs m,, m.^, et le minimum pair, m, vérifient les congruences 

 m , -h rrii^m^o mod p \ l'entier 4 N + 3 esl un mal/ iple de p donné; l'entier r 

 prend toutes les valeurs entières = 0, telles qu'on ait 2r^s2«+ i modp et 



4N 4- 3 — 4^" positif; enfin, le signe, dans 2/- ± — ? -, doit être choisi 



e manière que 2/- dr — = ^o modp, ce qui n est possible que d une 



seule manière sauf si n ^ -(p — i); alors les deux signes sont valables, 

 c'est-à-dire qu'on doit, dans S, prendre les deux termes qui répondent res- 

 pectivement à -I- et à — • 



Au second membre, I,' s'étend aux décompositions en facteurs 

 4N -f- 3 = pdd,, avec pd<^ d,\ d^^^i^l^n -\- 2)mod/); £ = ± i. 



On a ainsi une relation analogue à des formules que j'ai déjà fait con- 

 naître, mais il n'intervient ici que certaines des classes des discriminants 

 4N H- 3 — [\r'^, à savoir celles dont les minima satisfont aux congruences 

 m^ -f- m.,^m^omodp. 



En particulier, si l'on fait /(.r) = i, et si l'on désigne par F(4M -t- 3) le 

 nombre des classes positives de l'ordre propre, de discriminant 4 M -h 3, 



