SÉANCE DU 2 2 JUIN IQIij. l865 



P„(.r), P,(.r), ..., Pt(>r). Chaque fonction continue pour o5a;^i pouvant 

 être approchée dans cet intervalle par les puissances entières (non néga- 

 tives) de >r-, il suffira de démontrer la possibilité d'une représentation 

 approchée d'un polynôme fondamental quelconque P,,-^(x) par un système 

 arbitrairement choisi P<(a;), P^.^(x), ..., P^, (x), .... Or considérons le 

 système infini d'équations linéaires homogènes : 



X, .r, .r„ 



(A) 



D'après un théorème connu de la théorie des séries de Dirichlet, il n'est 

 pas possible de satisfaire à ces équations par des valeurs des .r„ qui ne soient 

 pas toutes nulles. D'après un autre théorème, dû à M. E. Schmidt ( Hendi- 

 conti, t. XXV, Palermo, 1908) et applicable au système(A) en question, 

 la somme des carrés des coefficients dans chaque équation étant conver- 

 gente, un vecteur nouveau quelconque, par exemple 



appartiendra maintenant à l'espace défini par les vecteurs donnés. 



On aura alors (Joe. cit.), pour un vecteur perpendiculaire p^ formé avec 

 des constantes réelles convenables a,',"^' et d'un indice N suffisamment 

 grand, 



la quantité donnée positive S" étant aussi petite qu'on le voudra. 

 Si l'on regarde maintenant le système 



(B) 



cosaTCJ' COS/47Î.I' coi-iiir.-f ,^ , , 



?*,(-^) ^ ../,. + ^u: +• • ■+ — ;77r H. . .= P/,,(.r), 



, , cosaTT.r cos^it:.;' coij.itnx 



?'.(-^) = .u-, + .,2/., +• ■ ■ + ,,./■-, +. . .= P/.,(^-), 



C. R., igi'i, i" .Semestre. (T. 158. N° 25.) 2^0 



