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on aura, avec les mêmes constantes a„^', les relations identiques 



P,.,(x)-a,>"P;,,(a.)-... 



|l\(^)-a',^-'P,,(a;)-... 



G. Q. F. D. 



D'après les théorèmes de M. Schmidt {Rendiconti, t. XXV, Palermo, 

 1908), on peut, en s'appuyant sur le système (B), approcher les fonctions 

 cos27ra;, ..., cos27JTra;, ... à l'aide des polynômes P/,_(a:-\ P,. (a;-), ..., 



\*,,^(œ), Mais on peut approcher aussi la constante P„(a:^) ^ i dans tout 



intervalle o ... a <^ i (non plus pour a=^ \) par les cos27it:./-. Il sera donc 

 possible de donner une représentation approchée de toute fonction continue 

 dans l'intervalle o...«<^i, au moyen de chaque système infini, contenu 

 dans l'ensemble des polynômes V^(x), V^(x), ..., P„(.i'), .-., sans avoir 

 recours à la constante P,,. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation fonctionnelle. 

 Note de M. C. Popovici, présentée par M. Emile Picard. 



l. Considérons l'équation fonctionnelle 



<>) f{.v)-V{u')f{?>x)+'kf f{s)k{.r,s)ds = 0{x), 



qui a servi à M. Picard pour, déterminer l'intégrale d'une équation aux 

 dérivées partielles du second ordre qui prend des valeurs données sur deux 

 courbes données. 



M. Picard a démontré(') que cette équation admet une solution qui, 

 pour .r = o, prend une valeur a et n'en admet qu'une, avec les condi- 

 tions : P(o) = I, le produit n„(a;) = P("C). . .P(p"x') admet une limite 'i^{oc) 

 pour « ^ 3c, Q(a;) s'annule pour x' = o et admet une dérivée; aucune autre 

 condition n'est imposée aux fonctions données et à la fonction inconnue. 



Le but de cette Note est de montrer qu'il existe une infinité de solutions 

 qui prennent la valeur donnée pour .r = o, el qui ont échappé, parleur 



(') Comptes i-eiHliix^ '9071 '3 mai iQO-. 



