SÉANCE DU 22 JUIN I914. 1867 



nature même, à la méthode des approximations successives. Dans le cas 

 où n„(a;) est divergent, on peut former aussi une infinité de solutions con- 

 vergentes. 



2. On peut satisfaire à l'équation (i) par une fonction holomorphc (^') 

 en X : 



(2) f(x) =/,{.,■) -+- >./,(,r ) + . . . + )."/„( .r) +. . . . 



/„('T) étant des solutions des équations fonctionnelles de même forme 



(3) /„(.r)-r'(x)/„(i3-r)==n„(.,'), 

 avec 



(3') Q„(.r) = Q(.r), Q„{x) =- f /„^,(.i) /.(.r, s) c/s. 



•-'0 



L'équation (3) peut s'écrire 



(4) /„(,r-)=/„(P''^-)n,-,(.0+2]n,__,(.r)Q„(P'-.r), n_,(,r) = i. 



On aura l'intégrale cherchée, convergente (-), en prenant 



(5) f,{x) = an(.r) + ^n,.,{.r)Q{'/'\r). 



et dans les autres équations f„(o ) = o, p ~ -x. 



3. Outre cette solution connue, nous pouvons en donner une infinité 

 d'autres, formées de la manière suivante : ajoutons à chaque solution des 

 équations (3) une solution de ces équations qui correspond, pour Q„(,a") — o 

 par exemple, à 



(6) 9„(^) = «„[e'<,.f-)-.]n{,r), 



où 



(7) <y.n{-r)= 2 y«(f^''-*')' 



(') Il existe aussi des solutions méiomorphes que iiqus laisserons de côté pour le 

 moment. 



(*) Voir loc. cit. 



