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et yn{x) peut être une fonction delà forme que voici : 



(8) ■A(.r) = 



B„(^) 



où A„ et B„ sont deux polynômes arbitraires, dont B„ dedegré supérieur à A„, 

 et n'ayant pas de racines réelles, et A„(o ) = o; a„(a:) sera ainsi une série 

 convergente, d'une manière non uniforme, n'ayant pas de pôles sur l'axe 

 réel, et s'annulant pour a- = o. Les coefficients arbitraires a„ étant choisis 

 de manière que 2X"cp„(a;) soit convergente, les intégrales successives (3') 

 seront alors elles-mêmes convergentes, je veux dire de telle manière que la 

 série (2) reste convergente pour toute valeur de A. 



4. Lorsque U„(x) est divergent et tend verszéro, toutes les solutions qui 

 proviennent des formes (6) s'annulent [et aussi toutes les expressions (5), 

 donc toutes les intégrales se confondent, quel que soit a]. Nous pouvons 

 néanmoins former des solutions, qui conviennent également pour le cas 

 où n (a) est convergent, en prenant 



A = l 



Y„(a;) étant une fonction arbitraire, = = P(i^~' x)...P(^~''x). Lorsque 



Tl(x) est convergent, il suffit de prendre pour Y„(a:) une forme (8) 

 pour que cp„(*) soit convergent. Lorsque Tl^(x) et n_/.(a;) tendent vers 

 zéro, il suffit que f„(^) ^^^^ limité de — oc +. . .-1- 00. Soit, par exemple, 



P(o) = i, limnA(,r) = o, 

 li m n_;; (o") =: o pour kr^co (L logarithme népérien). 



Si y(^) est limité, la série (9) sera convergente si r >■ i . Cette série n'aura 



pas de pôles sur l'axe réel si a est imaginaire; elle sera convergente aussi 



/- = + « 



pour a; = o si la série à double sens V ■^„{^''x) a une valeur pour j: = o, 



k ^ OB 



par exemple si Y«(^) = ,, » on aura (f„(o) = o. 



5. Si nous envisageons encore le cas où la solution de M. Picard est 

 divergente, soit à cause de la fonction Q(iï"), soit à cause des produits 



