SÉANCE DU 22 JUIN igiA- 1869 



Tl„(x) (lorsqu'ils grandissent indéfiniment), on peut ajouter successivement 

 à chaque fonction fn{oc) une fonction cp„(x-) de manière que la série 

 nouvelle ait une limite pour « ^ x;. On pourrait ainsi former une infinité 

 de solutions convergentes. Ces résultats peuvent être étendus à l'équation 

 de Fredholm. On voit ainsi l'importance de ces fonctions (p, qui n'ont pas 

 été signalées jusqu'à présent, et qui pourtant sont des solutions spécifiques 

 des équations fonctionnelles. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la distribution des nombres premiers . 

 Note de M. J.-E. Littlewood, présentée par M. J. Hadamard. 



1. M. E. Schmidt a établi l'existence d'un nombre positif K, tel que 



(i) n(j-) — L/x -f- -Lj i/^< — Kt^— , >Kt^— , 



pour des valeurs indéfiniment croissantes de x. 



D'autre part, dans l'hypothèse de Riemann sur les racines de C(*)) on a 



(3) U{x) — Lix = 0{\/x\o^a;). 



11 reste entre (i) et (2) une lacune que je me propose maintenant de 

 diminuer en remplaçant les inégalités (i) par 



^ ' ^ ' ^ ' logx loga; 



Il en résulte évidemment que l'inégalité n(a-) <[ L«'x-, présumée par 

 divers auteurs pour des raisons empiriques, ne saurait subsister pour toute 

 valeur assez grande de x. 



Les inégalités (3) sont équivalentes aux suivantes : 



(4) 'I;(.r) — ./■<— k y/jrlogloglogj-, > K y/xlog log loga?, 



'\i(x) étant la fonction connue de Tchebichef. Je vais démontrer (4) en 

 supposant vérifiée l'hypothèse de Riemann. Dans le cas contraire, on sait 

 déjà plus. 



Je pose "^ = logiF, et je désigne par 



