SÉANCE DU 22 JUIN 1914. 1873 



sente de grandes analogies, mais aussi des différences essentielles avec 

 cette théorie des systèmes (i) que j'ai développée dans mes travaux des 

 dernières années, en suivant la voie ouverte par M. Volterra. Je voudrais 

 indiquer ici quelques-uns des résultats que j'ai obtenus, relatifs aux équa- 

 tions de la forme (2); un Mémoire étendu sur ce sujet va paraître prochai- 

 nement dans un autre Recueil. 



Soit a(z\'k,k) une fonction monogène de z pour chaque point du 

 champ o$X<i, o<X<i, et supposons que le développement de Taylor de 

 cette fonction, dans le domaine d'une valeur régulière z, soit uniformément 

 convergent à l'intérieur du carré o^X^i, o'Sf^Si. A côté de l'équation (2), 

 définissant un segment de fonctions X(z|X), il convient de considérer 

 l'équation associée 



(3) 'Jlllll^:^a{z\i,fc)+ f \{z\i,l)a{z\l,k)dl, 



dont la solution dépend des deux paramètres réels i^\.k. Si, pour|3 — 3„|<^R, 

 le coefficient a{z\i^k) est holomorphe, la solution j(«|/, X) qui s'annule 

 pour - = ^0 ^st- holomorphe dans le même domaine. Le déterminant de 

 Fredholm de y{^z\i^ k) satisfait à l'équation 



î^l^iii^i±!AAl^-/''«(.|x,x)^x; 



il est donc différent de zéro tant que a(^z\i, X-) reste holomorphe. L'équation 

 intégrale de Fredholm 





est donc résoluble; soit Y](^|i, X:) le noyau résolvant. Alors •/)(:; |i,/:) satis- 

 fait à l'équation adjointe de (3), et le coefficient de (3) est déterminé par 

 la formule 



, , . ,, dy{z\i, /.) r' , , . ,, dy{z\l.k) ,, 

 a{z\i,k)= ■^'^ J^' ' + I ■n{z\i,A-)^!-^ .',//. 



La solution générale de (3) s'obtient à l'aide de la formule 



/-• 

 (4) Y(3 I /, A-) .= c{i, k) -^f{z I /, k) -h / c{i. l)y(z\ l, k) dl, 



c(i, k) étant un champ de constantes, c'est-à-dire une fonction arbitraire 

 continue des variables réelles ï, k, dont le déterminant de Fredholm ne 



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