1874 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



s'évanouit pas, et la solution générale de (2) est donnée par la formule 



(5) 





où c(Z-) est une fonction arbitraire continue de k. La solution (4) de réqua- 

 tion (3) correspond à une matrice intégrale r,/,. du système (i); la solu- 

 tion (5) de l'équation (2), au contraire, à la solution générale j^a- de (i). 



Le cas, où le coefficient a{z \i, ¥) est indépendant de s, a été étudié déj;» 

 par M. Volterra ('). L'illustre géomètre obtient pour ce cas la solution 



W 



[.k/(^ A)] =2 S «'""('■'/•), 



qui est une fonction entière des, admettant le tbéorème intégral d'addition 



(6) W[= + u \a{i, A )] = W[- I a{i, /.)] -f- W[« | aii. A)] 



+ r W[3|«(/,Â-)]W[--|«().,A-)]^).. 

 L'équation du type de Cauchy 



admet donc la solution W[logïja(i, A)] qui, lorsque la variable / tourne 

 autour de l'origine, se transforme, en vertu de (6), en 



\V log<|a(/, /.)] + W[27:v/^^|«(/, k)\ 



-+■ f W[27i:v/^^|«(«, >.)]W[log<|f?(/, /,)]rA. 



Si, pour l'équation générale (3), le coefficient a(z\i,Â-) est uniforme 

 autour du point singulier - =^^, si, par exemple, ce point est un pôle de 

 o(;|î,X:), la solution j(s|i, ^•) subira une transformation de la forme (4), 

 lorsque z tourne dans le sens positif autour de p. Il est toujours possible de 

 déterminer a(i, k) de façon qu'on ait 



W[27rv^^|«(/, k)] = c{i. /,). 



(') \oiv Leçons sur les fonctions de lignes, p. 199: Rendiconti délia R. Acca- 

 ttemia dei Lincei, i5 mars 1914, p- ^g^- 



