1876 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



en deux groupes de quatre points A, A^ A3 A., et B, B^ B3 B, déterminant 

 l'involution de quatrième ordre l\, qui a six éléments doubles. La courbe 

 d'involution correspondant à cette ponctuelle d'involution est du troisième 

 ordre et se décompose en trois droites, elle est donc d'espèce nulle. De 

 même les rayons du faisceau ^^ ' ( a^ a'^, ^^\ p.,) couperont la conique C" en 

 deux groupes de points A', A!, A'^ A^ et B', B^ B!, B^ , qui déterminent l'invo- 

 lution I' du quatrième ordre et d'espèce nulle. 



Admettons que les faisceaux S (a, p, ...) et S' (a', [3', ...) sont projectifs; 

 alors leur entremise établit une correspondance entre les groupes des ponc- 

 tuelles d'involutions IJ et 11 sur la conique C', de sorte qu'à chaque 

 ensemble de quatre points de l'involution IJ correspond un seul groupe de 

 quatre points de l'involution I*. Les ponctuelles d'involutions 1] et I* que 

 nous définirons comme projectives, étant projetées de deux points quel- 

 conques T et T' de la conique C- des involutions Lj et I', donnent deux fais- 

 ceaux en involution projectifs, de quatrième ordre et d'espèce nulle : 



T(«, «2«3<î^4i bib^bi b.,) AT' (a', a'^ a!, «', , b[ b'., b'^ b[). 



Menons par les sommets T et T' des droites / et /', qui ne soient pas 

 placées sur le plan de ces faisceaux. Alors les plans H, ^(/a,), Tl^^Çta^), . . . 

 formeront un faisceau de plans en involution de quatrième ordre et d'espèce 

 nulle, projectif par rapport au faisceau analogue de plans Il\^^(t'a\), 

 n',^s(/'al), . . . placés sur l'axe /', qui ne se rencontre pas avec l'axe /. Le 

 lieu géométrique des droites d'intersection des deux faisceaux de plans est 

 une surface réglée dont l'ordre est le même que celui de la courbe formée 

 par les faisceaux T (aia^a^a., . . .) \T'(a[a'.,...). 



Pour déterminer l'ordre de cette courbe, coupons les faisceaux T et T' 

 par une droite arbitraire m, ne passant pas par leurs centres. Prenons 

 ensuite une conique Cj et projetons sur elle d'un de ses points quelconques P 

 les ponctuelles en involution obtenues sur la droite m. De même nous 

 trouverons les centres d'involutions U et U' des ponctuelles d'involutions 

 obtenues sur C^. Les points U et U' forment les sommets des faisceaux 

 projectifs en involution de second ordre; les rayons correspondants de 

 ces faisceaux projectifs se couperont en des points d'une certaine courbe, 

 dont l'ordre reste à déterminer. Dans ce but coupons les faisceaux d'invo- 

 lutions de second ordre, dont les sommets sont dans les points U et L', 

 par une droite arbitraire ;«, et projetons les ponctuelles en involution, 

 ainsi obtenues, sur la conique C^ d'un de ses points arbitraires P,. Nous 



