1978 



ACADÉMIE DES SCIENCES. 



GEOMETRIE. — 



Sur la courbure jinnnalc des contours fermés . 

 Note de M. A. Buhi.. 



Dans les Comptes rendus du 1 1 mai j'ai formé une intégrale double inva- 

 riante pour toutes les cloisons Y tangentes entre elles le long d'un contour 

 fermé Y et s'exprimant par la torsion géodésique totale dudit contour. J'ai 

 obtenu depuis un résultat tout à fait analogue pour la courbure normale 

 de y. 



La méthode consiste toujours en l'application d'une certaine extension de 

 la formule de Stokes, extension représentée par l'égalité (i) de ma 

 précédente Communication. Je suppose encore qu'il s'agisse d'une 

 cloison z ^^/{x^y) limitée par un contour y se projetant sur Oxy sui\ant 

 la courbe fermée Y {ce, y) = o. Alors, si l'on considère les angles élémentaires 

 de courbure géodésique, de torsion géodésique et de courbure normale, 

 on a 



— = P, djc -h Q, dy 



9g 



On ~ 



- S, dp -\- 'ï^dq^ 



S^dp + 'i\dq, 

 s;. T, 



dp 4- ^ dq. 



O 



Les coefficients p,, Q,, S,, T,, Sj, T2, Q, sont des fonctions explicites 

 de a;, y, p, q, mais non de z; elles sont bien simples à obtenir et d'autant plus 

 inutiles à réformer ici que leur expression détaillée n'intervient pas dans le 

 résultat qui suit. 



Si maintenant on applique la formule (i) de ma Noie du 1 1 mai à l'ex- 



ds . . ^ 



pression de — > il vient, après de nombreuses réductions, 



r d_s_ _ f fiiçh _ r r 



Jy Pn J Jr P1P2 J Jr 



dv dy. 



L'élément superficiel de T est r/cr; les rayons de courbure principaux 

 correspondants sont p, et p^. 



Telle est la formule qui est, pour la courbure normale, ce que la formule 

 d'Ossian Bonnet est pour la courbure géodésique. 



