SÉANCE DU 29 JUIN 1914. I979 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de /a fonction 'C(s) de Riemann. 

 Note de M. R.-J. Backllxd, présentée par M. Emile Picard. 



Soit N( T) le nombre des zéros non réels de la fonction ^(5) = 'C(a -■[- il), 

 dont les ordonnées vérifient la condition o<;/<T. On sait que ces zéros 

 font tous partie du domaine ofo-f i . 



Les zéros de la fonction entière 



>-(,)= i,(,_,)7:^-^r(^0Ç(.) 



sont précisément les zéros non réels de ((*). Donc, si le nombre T n'est 

 pas égal à l'ordonnée d'un de ces zéros, la fonction E(^) admet exaclemenl 

 2N(T) zéros à l'intérieur du rectangle 11 ayant pour sommets les poii;ls 

 2 — i'T, 2 -\- i'T, — I 4- /T, — I — /T, tandis qu'elle ne s'annule pas sur son 

 contour. 



D'après le principe connu de Cauchy, on aura donc 



2 T. 



A,5 arg. ^(5) désignant l'accroissement que prendra l'argument de la fonc- 

 tion ^(5) lorsque le point s décrit le contour du rectangle R dans le sens 

 direct. 



Mais, puisque la fonction ?(.«) est réelle tant sur l'axe réel que sur la 

 droite cr = -, elle prendra des valeurs conjuguées en deux points quel- 

 conques symétriques par rapport à l'une de ces droites, elARarg.H(5) est 

 donc égal à quatre fois l'accroissement A4„{:arg.^(5) que prendra arg.(^(5) 

 lorsque s décrit la portion ABC du contour de R, où A = 2, B = 2 + jT, 



C = - + iT. Par suite, l'égalité précédente peut s'écrire 



N(T):^-A,,..;arg. ;(^). 



7Î 



En évaluant l'accroissement de arg. Fl - j à l'aide de la formule de Stir- 

 ling, on en tire pour j\(T) cette expression ( ' ) 



(I) N(T) = — log— - — + | + P(ï) + ofl 



271 27: 27: 8 \r 



(' ) Suivant l'exemple de M. Landau, nous désignerons par O(^) toute fonction de x 

 dont le quotient par jc reste fini lorsque x tend vers oc. 



