1980 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



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(2) P(T) = ^A^Bcarg.Ç(.9). 



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Pour trouver une limite supérieure de |P(T)|, nous faisons d'abord 

 observer que, si la partie réelle de la fonction '((.v) 



RÇ(5)= -l-[Ç(CT-i-,V)-HÇ{^- it)] 



s'annule n fois sur ABC, on a |AA„oarg.'((5)| <C(n -\- i )-, d'où 



|P(T)|<« + .. 



Sur le segment AB, on a constamment Rr(^)>o. Pour évaluer une 

 limite du nombre des zéros de RC(^) situés sur le segment BC, nous allons 

 considérer la fonction 



/(.) = ^[ç(. + /T) + ç(.s--rr)], 



qui, pour 5 = a, se confond avec R'C(a' + iT). Si /désigne le nombre des 



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 zéros de f{s) compris dans le cercle |.y — 2|^-> on aura évidemment 



Il s'agit donc de trouver une limite supérieure du nombre /. 



A cetelTet, nous appliquerons à la fonctiony"(*) le théorème de M. Jensen; 

 /(s) étant holomorphe dans le cercle \s — 2| 5 2 dès que T > 2, ce théorème 

 nous donne 



los: — 



'"S 3 



où w= 1/(2)1 = |R(:(2 + /T)|, et 



M = inax 1/(3 + 2e'?) |, pourolcp^aTr. 



Or la quantité m reste, pour toute valeur de T, supérieure à une certaine 

 limile positive, et, d'autre part, le module de '( (.v) vérifie pour o;;:a<4 

 l'inégalité 



K(-v)|<l'l% 



où c désigne une constante. On en conehilsuccessivementlogîVi = O (logT), 

 /=0(logT), /i = 0(logT), et enfin 



F(T) = 0(logT), 



