SÉANCE DU 29 JUIN I9l4- 1981 



et l'égalité (i) peut donc s'écrire 



(•') NiT) = :^lo8:^ -^ + 1 + O(iogT). 



Nous sommes ainsi arrivé directement à cette importante formule, sans 

 invoquer d'autres résultats relatifs aux zéros non réels de 'C(s) que ceux qui 

 résultent de l'expression de 'Ç(s) sous forme de produit infini, donnée par 

 Euler, et de la relation ^ (s) = ^ ( i — ■?), démontrée par Riemann. 



La formule (1)' une fois établie, on en conclut immédiatement, non 

 seulement que 'C(s) admet en réalité une infinité de zéros complexes, p^, 

 mais encore que la série V — converge quelque petit que soit le 



nombre positif £, tandis que la série^ — est divergente. 



Notre méthode apporte encore d'autres simplifications dans la théorie 

 de 'C (5) et des fonctions analogues L (s) de Dirichlet. 



En précisant certains détails dans la démonstration ci-dessus, nous en 

 avons tiré pour P (T) l'inégalité 



I P(T) I <o, ■37.5 logT H- 0,979 loglogT + 7,44*3 (T>aoo), 



qui est un peu plus précise que celle qu'a obtenue dernièrement M. Gross- 

 mann (') à l'aide de la méthode de M. v. Mangoldt. 



Dans une Note antérieure (-) nous avions trouvé par un calcul direct 



i\(l00) = 29, N(200)=r79. 



et d'autre part nous avions démontré, en nous servant de la méthode donnée 

 par M. Lindelôf ('), que les 29 premiers zéros non réels de 'Ç{s ) sont tous 



situés sur la droite ct= -• En continuant les calculs par la même méthode, 



à laquelle nous avons d'ailleurs apporté diverses simplifications, nous avons 



vérifié que les 5o zéros suivants sont également situés sur la droite a = -, 



qui contient ainsi au moins tous ceux parmi les zéros non réels de la fonc- 

 tion ^^(5) dont les ordonnées sont comprises entre les limites — 200 et + 200. 



(') Ueber die Nullstellen der Riemannschen ^-Funktion tind der Dirichletschen 

 h-Funktionen : Dissertation (Gôltingen, igiS). 



(^) Einige mimer ische Rechnungen die NuUpunkte der Riemannschen ti-Fiink- 

 tion betreffend {Ofversigt af Finska Vetenskaps-Societetens Fôr/iandlingar, LIV, A, 

 1912). 



(') Quelques applications d'une formule sommatoire générale {Acta. Soc, Scient, 

 Fenn., t. XXXI, 1902). 



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