1984 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



nous occuper des fonctions minimant l'intégrale -5( i) = / /(x,y, y')f/.r, 

 pour voir si elles satisfont à l'équation d'Euler. 



1. Soient vérifiées la condition II et la condition 



r : pour chaque point (x, y) du champ considéré, il n'y a pas d'inter- 

 valles de valeurs jK) où la /y'-{x, y, y') est toujours ^o. 



Si existent, en outre, tes intégrales 



*- Il • rt 



o// j'o ="^0 (^) ^*^ une fonction absolument continue, et si ron a toujours 



,b 



[&)/3,(x, y„,/J -H 'Wfy,{œ.r„y'„ )] d.r — o. 



X 



où co est une fonction quelconque ayant une dérivée co' finie et continue dans 

 tout r intervalle (a, h) et satisfaisant à la condition w(fl) = co(6) = o, la 

 fonction y ^ a partout une dérivée f nie et continue et satisfait à Inéquation 



d^Eulerf.-^f^o. 



2. Soient vérifiées la condition I' et la condition 



ir : on a toujours y > — N et la partie principale de f, pour Ij^'J— voc, 

 est, tant au point de vue du calcul de la fonction elle-même que de 

 celui de ses dérivées, P(a--, j)|j'|'"^, a étant >o et P une fonction finie 

 et continue avec ses dérivées partielles des deux premiers ordres. 



En outre, soit toujours F > o et lim «?., | vl'"*"" = 30, où m^. désigne le 



minime de P pour toutes les abscisses de (rt, h) et pour toutes les ordonnées 

 en valeur absolue =1^1. 



Alors, chaque fonction Y (^) absolument continue qui minime r intégrale -"i 

 a, dans tous les intervalles où elle reste intérieure au champ considéré, une 

 dérivée finie et continue et satisfait, dans ces mêmes intervalles, à l'équation 

 différentielle d^Euler. 



3. Soient vérifiées les hypothèses I" : /j- >>o, et 11. 



Si Y e^ R sont deux nombres positifs, pris d'avance arbitrairement, on peut 



