SÉANCE DU 29 JUIN I9l4- 19^0 



déterminer un nombre cl ^ o tel que, P, (.r, v, ), Po {■v>Y-,), étant deux points 

 quelconques du rectangle a^x^b, (j)5 Y, qui satisfont aux conditions 



.r^ — Xi\ <, d. 



<R, 



on peut toujours joindre P, à Pj par une extrémale, et une seule, donnant à 

 l'intégrale de /"(.r, v, v) une valeur plus petite que tout autre courbe y --=Yix) 

 [j'(aT) absolument continue^ joignant les mêmes points. 



4. Les hypothèses I", Il étant vérifiées, toute fonction absolument continue 

 qui minime ri admet, dans tous les intervalles où elle reste intérieure au champ 

 considéré, une dérivée première bien déterminée , finie ou non. Dans chacun 

 de ces intervalles, sauf tout au plus pour les points d un ensemble fermé 

 de mesure nulle, cette dérivée est finie et continue, l'équation d' Euler est satis- 

 faite et il existe aussi une dérivée seconde finie et continue. 



5. Soient encore vérifiées les liypotlièses I , II. Soit en outre, vérifiée 

 l'une ou l'autre des deux hypothèses : 



\\\a- l'intégrale | f^ {xy„y'^ ) dx existe ; 



IIIa : pour tout champ borné du plan {xy) on peut déterminer deux cons- 

 tantes positives Q,, Q^, telles que, pour tous les points du champ, on 

 ait 



f 



}" 



<Q,/'+Q. 



Dans ces conditions toute fonction ^„, absolument continue, qui minime p>, 

 admet, dans tous les intervalles où elle reste intérieure au champ donné, des 

 dérivées première et seconde finies et continues, et satisfait, dans ces mêmes 

 intervalles.^ àV équation différentielle d' Euler. 



6. Dans les conditions du théorème précédent et si, en outre, la variation 

 seconde de ^, débarrassée des termes en o\, 0,",, est toujours positive, non 

 nulle, il n'y peut avoir qu'une seule fonction minimante (^absolument 

 continue ) . 



7. Si l'on a vérifié les hypothèses F, H' ou T , II, III^ ou bien I", II, III^, 

 il existe toujours, du moins, une extrémale qui joint deux points quelconques 

 P,(a;,jc,), ^nix^y^) tels que a^x. <^x.,^b. 



