1986 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonction 'C(s) de Riemann. Note (') 

 de M. Harald Iîohr, présentée par M. J. Hadamard. 



1. Pour l'étude de la fonction 'Ç(^s) =- s (a -1- zV), il suffît de considérer 



le demi-plan (t> -> car, si l'on connaît la fonction 'Ç{s) dans ce demi-plan, 



on peut, à l'aide de l'équation fonctionnelle de Riemann, qui relie entre 

 elles les valeurs de Zêta aux deux points * et i — s, étudier la fonction dans 



le demi-plan restant (t<; -• 



2. Dans quelques Mémoires antérieurs (-), j'ai étudié la fonction ^(5) 

 dans le demi-plan a->i par une méthode arithmétique, fondée sur la 

 théorie des approximations diophantiques. Parmi les résultats obtenus, 

 résultats qui, à certains égards, sont d'un caractère définitif, je me per- 

 mettrai de rappeler le suivant : Soit L = 'K*'^») l'ensemble des valeurs que 

 prend '( {s) sur- la droite (7 1= a,,, et soit W = W (o-o) l'ensemble des valeurs 

 que prend C(^) dans le voisinage immédiat de la droite a ^ (7„, c'est-à-dire 

 l'ensemble W des valeurs w telles que, pour tout § > o, l'équation 'Ç{s) = w 

 ait au moins une racine dans la bande <j„ — c <^ rr <^ 7^ -^- ^ ■ alors, si a-o> i, 

 il existe dans le plan complexe un ensemble y^rme V = V(a-„), défini d'une 

 manière géométrique, savoir, comme un ensemble résultant de la multipli- 

 cation d'une infinité des cercles^ tel que l'ensemble U soit partout dense 

 dans V et que l'ensemble W soit identique à V. 



3. La méthode arithmétique, employée dans les Mémoires cités, est de 

 telle nature que son application à l'étude de la fonction '((*) semble d'abord 

 devoir être limitée au domaine a^i. Cependant, dans un Mémoire qui 

 vient de paraître ('), M. Courant et moi-même nous avons réussi, en in- 

 troduisant des notions empruntées au calcul des probabilités, à généra- 

 liser cette méthode en sorte qu'elle devienne applicable non seulement pour 



(') Présentée dans la séance du 22 juin 1914- 



(*) Voir surtout Sur la fonction Ç(i) dans le demi-plan ff > 1 {Comptes rendus, 

 t. loi, 1912, p. 1078). 



(^) H. BoHR el R. CouHANT, IVeue Anwendungen der Théorie der Diophantischen 

 Approximalionen auf die Riemannsche Zetafunktion {Journal de Cretle, I9i4i 

 p. 2/19-274). 



