SÉANCE DU 29 JUIN I914. I987 



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le demi-plan a^i, mais pour fout le demi-plan i^-- A l'aide de cette 



méthode généralisée, nous avons démontré, dans le Mémoire cité, le théo- 

 rème suivant : 



Théorèjie I. — Soit - <^ C7(,< I , r ensemble des valeurs que prend Z (s), sur la 

 droite a- = c7„ est partout dense dans tout le plan complexe. 



4. Du résultat, rappelé ci-dessus, sur la fonction 'Ç{s) dans le demi-plan 

 (T > I , il s'ensuit en particulier que si l'on connaît, pour une valeurde a^'^i, 

 l'ensemble U = U(a-,) des valeurs de Z (s) sur la droite a- = a-,,, on en peut 

 immédiatement déduire l'ensemble \^= ^^ (7,,) des valeurs que prend !^ (5) 

 dans le voisinage immédiat de la même droite g ^g„\ en effet, W est l'en- 

 semble /e/v/^e le plus petit qui contient U, c'est-à-dire ^^ = L -l- U', où U' 

 désigne l'ensemble dérivé de U. Si ce rapport entre l'ensemble L((Jo) et 

 l'ensemble W(a-„) subsistait, non seulement pour C7„> i mais encore pour 



(7„ > -j il résulterait immédiatement du théorème I que, ^^our - <C__G^,<Cil■| 

 l'ensemble W(a„) consisterait de toutes les valeurs du plan complexe; je ne 

 sais pas s'il en est ainsi ou non (dans le cas affirmatif l'hypothèse de 



Riemann, qui dit que 'Ç (s) ^ o pour 7 > - serait inexacte), mais j'ai réussi 

 à démontrer, à l'aide de la méthode arithmétique généralisée, c/ue pour 

 - <^c7„<^i t ensemble W((7u) contient certainement toutes les valeurs diffé- 

 rentes de zéro; en d'autres termes, j'ai démontré le théorème suivant : 



Théorème II. — Soit - <; x <C 3 << i , la fonction 'Ç(s) prend dans la 



bande a <^ c <^ fl toutes les valeurs dijférentes de zéro et même une infinité de 

 fois. 



La raison pour laquelle, dans ce théorème, la valeur zéro joue un rôle 

 particulier consiste, d'une manière générale, dans le fait que l'expression 

 de 'Ç{s) avec laquelle on est conduit à opérer est un produit., savoir le produit 

 d'Euler "((5) = n( i — p~^) ', qui est d'ailleurs divergent dans la bande 



considérée - <r ^ < i . 

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J'ajoutequele théorème II était déjà établi par M. Landau et moi-même ('), 

 mais seulement en supposant la vérité de l'hypothèse de Riemann 



(') H. BoHR et E. Landau. Beitrdge zur T/ieorieder Riemannschen ZetafunlUion 

 {Malli. Ami., t. LXXI\', 1913. p. 27). 



