19^8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



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que 'C,(s) ^ o pour a->- -; la démonstration, que nous en avons donnée dans 

 cette hypothèse, était une démonstration analytique basée sur des résultats 

 connus en relation avec le célèbre théorème de MM. Picard-Landau. 



5. La méthode arithmétique me permet de donner au théorème II une 

 forme beaucoup plus précise, que voici : 



TiiiiORÈiME III. — Soù « :^ o, - < a < j5 < I ei soit N(T) le nombre des 

 racines de l'équation ï,(s) = a dans le rectangle a<^î7<<p, o<^/<<T. Alors 

 il existe une constante positive k = X(a, a, j3) telle que pour tout T suffisam- 

 ment grand 



N(T)>AT. 



On voit l'intérêt de ce résultat en le combinant avec cet autre fait, qui est 

 une conséquence immédiate d'un théorème général de M. Landau et moi- 

 même ('), sur les séries de Dirichlet, que N(T) = 0(T), c'est-à-dire quil 

 existe d'autre part une constante positive K = K (o , a , P) telle que pour T suffi- 

 samment grand 



N(T)<KT. 



6. Soit encore - << a <; [3 << i et soit M(T) le nombre des zéros de ^{s) 

 dans le rectangle a<a-< [3, o</<T. Du théorème de M. Landau et de 

 moi-même ( -), il résulte d'abord que M(T) = 0(T), mais, dans une Note 

 ultérieure ( '), nous avons démontré le résultat plus précis que M (T) = o(T), 

 c'est-à-dire que 



,. M(T) 



lim — o. 



T = » 1 



En combinant ce fait avec le théorème III, qui dit que 



,. . , N(T) 



lini inf. — = — > o, 



T= oc • 



on voit que^ dans toute bande a <^ a <; p, où - <^ a <; [îi ■< i , /e nombre des 



zéros de C(*), s'il en existe^ est infiniment plus petit que le nombre des racines 

 de l'équation C(i) = a pour toute valeur a différente de zéro. 



(') II. BoHR et E. Landau, Ein Satz iiber Dirichletsche Reihen mit Anwendung 

 auf die Z-Funktion und die h-Fu/i/ctionen (Rendiconti Palermo, t. XXXVII, 191/4)- 



(^) Rendiconti Palermo (t. c), 



(^) H. BoHR et E. Landau, Sur les zéros de la Jonction Ç(«) de Riemann {Comptes 

 rendus, i. l.'iS, 1914, p. 106). 



