1990 ACADEMIE DES SCIENCES. 



dant le long du segment de droite l o, —j'y' ) > ^ ^^t une fonction uniforme 

 de r; si l'on forme une surface semblable pour z et, si l'on convient d'asso- 

 cier les feuillets de ces surfaces en sorte que, pour s infini, - soit positif, on 



peut considérer les deux fonctions ci-dessous comme fonctions uniformes 

 de ; : 



7t(;) = ^; y,(7[e','^-e-'.''][e<'«-'.'^-e-('.- '.'•^] 



'^{z) = l ^e ','';[y,a4-y,T]e-".-','^-[y,<7-y,T]e<V'.'^|. 

 On pose alors 



a 



-n(z)--L{z) 



^/i 



et l'on fait l'intégration 



C| et Cj étant deux cercles concentriques à l'origine, assujettis à ne passer 

 par aucun de zéros de 'i^{:-) et correspondant aux deux feuillets des surfaces 

 de Riemann; par une généralisation aisée des calculs de M. E. Picard (' ), 

 on trouve J = — 2P,(.r) dans l'intervalle (—A, -f- /, ). 



L'application du tliéorème des résidus permet, après une suite de simpli- 

 fications qu'il est inutile de reproduire ici, d'écrire > c'est-à-dire t'i(a) 



sous la forme 



(S) y^^l^ —L-j sinc-p. (',(//) f/fxsin£.r. 



— * 



et l'on est ainsi conduit, pour t'^ = (v, = hc^^ — o, à 



(i) A — y, — / sin£|if|(//)(/f^. 



On vérifie ensuite que, sur le second Ironçon (/,, Z,), 



V A cos Y] ( g- — /a ) = O, 



— go 



(') E. PicAKD, Traité d'Analyse, t. II, p. 181. 



