Undersøgelser over en Klasse fundamentale Uligheder i de 

 analytiske Funktioners Theori.*) 



I. 



§ 1. Indledning. 



1 de senere Aar er en Klasse af funktionstheoretiske Opgaver mere og mere 

 traadte i Forgrunden, nemlig Problemer af l'olgende Natur. Man betragter en iovrigl 

 vilkaarlig analytisk Funktion i/ s^ ij (x) af den komplekse Variable x, og Funktionen 

 ;/ antages at være regulær indenfor Cirklen |a;|</?; med andre Ord vi betragter en 

 vilkaarlig hel Potensrække af .i- med en Konvergensradius > R. Nu antager man 

 endvidere om denne Funktion, at \y\<iM, eller at 9{(;/)<A eller lignende**), alt 

 saalænge |a;| < /?, og yderligere at man kender Funktionens Værdi i et bestemt Punkt 

 indenfor Cirklen, sædvanligvis Centrum, x ty (0) er bekendt. Hvad kan der da yder- 

 ligere i al Almindelighed udsiges om Funktionen, hvad kan der siges om dens ab- 

 solutte Værdi, om dens reelle eller dens imaginære Del, om dens Nulpunkter eller 

 om Omraader, hvori den ingen Nulpunkter har, om dens Deriverede o. s. v.? 



I det folgende skal jeg, inden jeg fremstiller mine egne Undersøgelser, give en 

 lille Oversigt (i det Omfang, hvori Litteraturen herom har været mig bekendt) over 

 de mer eller mindre specielle Resultater af denne Art, som er fundne af Mathema- 

 tikere, der har leveret væsentlige Bidrag til Losningen af herhenhorende Problemer. 

 Jeg anvender herved overalt stærkt ændrede Betegnelser, som staar i Samklang med de 

 af mig i det Folgende anvendte, for at Sammenligning bedre kan linde Sted. 



1", (1869). Forst og fremmest maa vi nævne en Sætning af Schwahz'), som 

 kan udtales paa folgende ÎShmde. Naar y, foruden at være regulær og absolut min- 

 dre end M indenfor Cirklen |x| = iî, har den Egenskab, at y (0) = O, vil indenfor 

 det givne Omraade 



*) Væsentlige Dele af denne Afhandling har jeg allerede meddelt i to Foredrag, nemlig eet ved 

 Forelæggelsen af disse mine Undersagclser for det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab i Madet den 10. 

 Novbr. l'Jlö, og et andet tidligere i Mathematisk Forening den lu. September 1915 angaaende Hegning 

 med sædvanlige komplekse Tal med Anvendelse paa Fnnktionstheorien. 

 **) Angaaende Betegnelserne henvises til S'-- 

 ') H. A. Schwarz: Zur Theorie der Abbildung. Programm der eidgenössischen polytechnischen 

 Schule in Zürich für das Schuljahr 1869— 7U; Gesammelte Mathematische Abhandlungen, lid. 11, S. 108 — 

 132; (se S. 110-111). 



