204 O 



ly|<;ßl^l- 



Carathéodory -) har vel forst fremdraget den store Vigtighed af denne Sætning 

 og bevist den paa en meget simpel og elementær Maade. Benævnelsen „det Schwarz'ske 

 Lemma", som denne Forfatter har indfort, vil jeg i det Følgende benytte. 



2", (1892). Til Losningen af den Opgave, at bestemme Egenskaber af ;/ inden- 

 for den oftnævnte Cirkel, naar der var givet en positiv højere Grænse for Funktio- 

 nens reelle Del, har Hadamard') givet et Bidrag, som foranledigede Borel^) til fol- 

 gende Losning af et herhenhorende Problem: 



|y|<I^Jiy(0)| + i5.'/(0)|T(4A + 2|5){j/(0)|)-J^, 



hvor A i)elegner en højere (positiv) Grænse for 5H(;/), den reelle Del af ;/, og ^s((/) 

 betegner den „imaginære Del" af ;/ (eller mere korrekt udtrykt: Koefficienten til den 

 rent imaginære Del). 



ScHOTTKY-') forbedrede ved Hjælp af det Cauchy'ske Integral denne Løsning 

 ved folgende Formel 



,.2 7: 



y|<|3j7(0)!+„Mj9{,z/(re'V')jrfW.';+j^"|, 



hvor .T|<r</?. Overensstemmende med Tankegangen i det i Noten citerede Ar- 

 bejde faas heraf med samme Betegnelser som før 



|yi < 1 3y(0)l + {'2A - 9{y(ü))|^l . 



Carathéodory'^) forbedrede dette til 



/?-f;æ| 



ly! < i3y(0)i -f 2^^:^^ + i 3{,/(0) 



R-\x\ ' ^ •"•"/?— |x|' 



hvor (1er ikke gøres nogen Forudsætning om, at A skal være positiv. Denne Formel 

 har almindeligt faaet Navn af „Carathéodory's Sætning". 



-) C. Carathéodory: Sur quelques généralisations du tliéoréme de M. Picard. Comptes Rendus 

 de l'Académie des Sciences, B. 141, Paris 1905, S. 1213—1215. 



E. Landau : Über den Picardschen Satz. Vieiteljahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft in 

 Zürich, Jahrgang 51, 190(5, S. 252 -318; (se S. 271). 



C. Carathéodory: Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränder- 

 lichen Grössen. Mathemathische Annalen, B. 72, 1912, S. 107-144; (se S. 110). 



') J. Hadamahd: Sur les fonctions entières de la forme e*'^-'^). Comptes Rendus, B. 114, 1892, 

 S. 1053—1055. 



*) E. Borel: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Picard sur les fonctions entières. 

 Comptes Rendus, B. 122, 1896, S. 1045—1048. 



■') F. Schottky: IJber den Picardschen Satz und die Borel'schen Ungleichungen. Sitzungsberichte 

 der Kgl. Preussischen Ak.ndemie der Wissenschaften, 1904, S. 1244 1202; (se S. 1246 — 12471 



') E. Landau, le. '-) (se S. 277). Se ogsaa : K. Landau: Beiträge zur analytischen Zahlentheorie. 

 Hcndiconli del Circolo Matematico di Palermo, B. 20, 1908, S. 169-302; ise S. 191- 193). 



