206 8 



5", (1908). Den mest omfattende Række af Resultater, henhorende til de her 

 behandlede Problemer, er imidlertid givet af Lindelöf^'), som ved Hjælp af Theorien 

 for Green's Funktioner og konform Afbildning opstiller et Princip, der — som han 

 udforligl viser — giver Losninger af en hel Række af Problemer, hvilke som specielle 

 Tillældc omfatter de under 1°, 2" og 4" nævnte. Hertil fojes saa nye, elegante og 

 vigtige Resultater, saasom en Udvidelse af det Schwarz'ske Lemma : 



I ,^ „ß|y(0)| + M|x[ , , ,, , , , „ 



en elegant Udvidelse af Landau's omstaaende Formel: 



og lignende, foruden Restemmelsen af en Del af Cirklen '.ri <' R i Omgivelsen af del 

 vilkaarligl valgte Punkl .r„, i hvilket ;/ =j= 0. Derimod har han ikke berørt de andre 

 Problemer, horende under 3°, ligesom han som oftest — i Lighed med de andre 

 Forfattere — indskrænker sig til at antage ;/(0) som den Væ-rdi af Funktionen ;/, 

 man antager bekendt, og ikke gør den nærliggende Udvidelse til Theoremer, hvor 

 det er ij„ = i]{Xg), som antages bekendt for et vist, men iovrigt vilkaarligl valgt .v„. 

 I det Følgende vil jeg faa Lejlighed til at nævne de Lindelof'ske Theoremer enkelt- 

 vis, idet de optranler som meget specielle Tilfa>lde af andre mere almindelige Sætninger. 

 6°, (1914). Carathéodory '■^) har vel først angivet en Formel for Differenskvo- 

 tienten, nemlig 



U — Uo 



jC OCft 



^ R\M"—i]^ij ^ 2 MR 



M\R-^—x^x\ R^—\x^x\ 



Til disse Formler er folgende at bemærke. Den første Ulighed giver for x„--*x 

 Lindelöf's ovenstaaende Flormel; den anden er blot en grov Tilna'rmelse, som imidler- 

 tid er fuldt tilstræ'kkelig til det F^ormaal, hvortil den benyttes i den citerede Af- 

 handling. 



Ved nøjere Betragtning af de ovennævnte Losninger af en Del specielle Pro- 

 blemer findes der en Mangel paa Sammenhæng i Behandlingen, som det synes mig 

 nyttigt at hæve. I denne Afhandling har jeg derfor dels sannnenarbejdet Theorien 

 til et Hele og generaliseret Theoremerne ret betydeligt, saa at mine Resultater om- 

 fatter alle de ovennævnte som meget specielle Tilfælde foruden en hel Del nye Sæt- 

 ninger, hvoraf specielle Tilfælde hidtil ikke er bekendte, og dels forsøgt at gøre dette 

 paa den simpleste og mest elementære Maade. Jeg haaber, at det vil fremgaa af 

 det Følgende, at det næppe vil være muligt at reducere Løsningerne af disse Problemer 



") E. Lindelöf: Memoire sur certaines inégalités d.Tns la théorie des fonctions monogènes et Sur 

 quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel. Acta 

 Societatis Scientiarum Fennicæ, Tom. XXXV, Nr. 7, S I —35. 



'-) C. CAiiATHKODOiiv: Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen Abbildungen. 

 Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjälirigen Doktorjubiläum am 

 fi. August l!n4 gewidmet, lierlin 1014, S. 19—41; (se S. 2.'!). 



