9 207 



til højere Grad af Simpelhed eller basere dem paa et mindre Maal af Forudsætninger, 

 som tilmed alle tilhører den Del af den elementære Funktionslære, som med størst 

 Elegance kan bevises ved Potensrækkernes Theori. 



Det er vel næsten overflødigt at nævne, at de berømte PicARo'ske Sætninger, 

 eller snarere de elementære Beviser og Udvidelser heraf, som er givet af Borel, 

 Landau og Schotikv, paa det nojeste hænger sammen med adskillige af vore 

 Problemer, og da særligt med de under 2" nævnte. Dette fremgaar jo for øvrigt 

 af de under 2,4,5) citerede Titler. Det ligger imidlertid udenfor denne Afhandlings 

 Formaal at gaa ind paa Anvendelser af de opstillede Theoremer; saadanne er for- 

 øvrigt ganske nærliggende. 



Inden jeg gaar over til de Regler for Regning med sædvanlige komplekse Tal, 

 som danner den største Del af de Hjælpesætninger, hvorpaa jeg støtter mig (og som 

 sikkert kunde finde Plads i en Lærebog i Algebraens Elementer) maa jeg gøre en 

 Bemærkning til de omhandlede Problemer og deres Løsninger. Ved disse udleder 

 man af de Uligheder, som i Forening med visse simple Antagelser danner Forud- 

 sætningerne for Løsningen, andre Uligheder, ofte af en helt anden Form. I visse 

 Tilfælde, ofte ved de vigtigste Problemer, kan man ved en algebraisk Omformning 

 af Ulighederne a fortiori vende tilhage til nøjagtig de samme Betingelser, hvorfra 

 man gik ud. Lad os — for i det allersimpleste Tilfælde at gøre dette klart — se 



paa det Schwarz'ske Lemma. Af Forudsætningerne udleder man som Løsning 



\x\ 

 \y\ ^^p~'> ™6n heraf følger straks (/(U) = O, og af Uligheden folger a fortiori 



ly\ <[M, altsaa ganske de samme Forudsætninger, vi gik ud fra; tilmed optræder 

 der et Lighedstegn, som ikke kan undværes. Naar disse Forhold o])træder ved 

 Løsningen af et Problem, saaledes som det jævnligt vil vise sig i det Følgende, 

 siger vi, at Løsningen er af 1ste Klasse. 



En Bemærkning angaaende Uligheder maa forudskikkes. Naar man ved endelige 

 algebraiske Processer af en Ulighed Aj <^ ßj kan udlede en anden A„<^B.^ og 

 omvendt, hvorved Ulighedstegn svarer til Ulighedstegn, Lighedstegn til Ligheds- 

 tegn, saa kaldes disse to Uligheder a^k vi valen te. Naar man derimod ikke ved 

 Processer af den antydede Art kan vende tilbage fra den anden Ulighed til den 

 første, siges den anden at være udledt a fortiori af den første. 



§ 2. Formler og Regneregler for de sædvanlige komplekse 

 Tal. Betegnelser, Definitioner og Hjælpesætninger. 



I det Følgende er alle Tal, naar ikke andet udtrykkeligt bemærkes, vanlige 

 komplekse Tal. Som sædvanligt betegnes ved ii og ii konjugerede Tal, ved [li den 



absolutte Værdi af ii , og man har n-n = \u\'K Ved Üt((i) = (« + ") betegnes 



den reelle Del af ii, og ved Cs(") = o^(" — ") ^ ■^(^^) Koefficienten til i i den 



n. K. n. VldensU. Selsk. Skr., naluiviileiisk. t,^ miitliem. Atil., S. H;cUke. II. 3. 28 



